Математический анализ (274 часа)

1. Введение в анализ (20 часов)

1.1. Числовые множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Определение предела числовой последовательности и не­которые ее свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие по­следовательности. Арифметические операции с последовательностя­ми. Существование предела монотонной последовательности. Число е.

1.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши

(формулировка). Функции. График функции. Свойства пределов функций.

1.3. Замечательные пределы. Следствия из них. Бесконечно малые и 'бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их использование при оп­ределении пределов. Непрерывность функций в точке. Классификация точек разрыва.

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (30 часов)

2.1. Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и ' теорема Коши). Определение и свойства производной функции. Геометрический и механический смысл производной.

2.2.. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Производные обратных тригонометрических функций. Функции, задан­ные параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных простейших элементарных функций. Дифференциал и его свойства.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производ­ная от функции, заданной параметрически. Производная вектор-функции и ее геометрический смысл. Возрастание (убывание) функ­ции в точке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Отыскание локальных и глобальных" экстремумов функций. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

3. Применение дифференциального исчисления для исследования функ­ций и построения графиков (26 часов)

3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона, формулы Тейлора для элементарных функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асим­птоты функции. Построение графиков функций.

3.2. Векторные функции скалярного аргумента и их дифферен­цирование. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной прямой и- нормальной плоскости.

3.3. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

4. Элементы высшей алгебры (8 часов)

4.1. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент ком­плексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы ком­плексного числа. Формула Эйлера.

4.2. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложе­ние многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на про­стейшие.

5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (20 часов)

5.1. Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифферен-цируемость функции нескольких переменных, частные производные и полный дифференциал, связь с частными производными. Производные от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Производные неявной функции.

5.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

5.3. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков.

5.4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

5.5. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.