Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)

Всякий ненулевой вектор х(а₁,а₂,...,а_nназывается собственным вектором линейного преобразования, если

Ах=λx, (1.5.4) где λ -некоторое число, называемое собственным значением (числом) линейного преобразования.

Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) запи­сывается в виде системы линейных алгебраических уравнений (Дц - Л)а^ -ь a^a^+...+а^а^ = О

( a₁₁- λ)a₁+a₁₂a₂+...+a_1na_n=0

a₂₁a₁+(a₂₂- λ)a₂+...+a_2na_n=0

----------------------------------- (1.5.5)

a_n1a₁+a_n2a₂+...+(a_nn- λ)a_n=0

Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные) решения только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что

det(A- λE)=0. (1.5.6) Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного линейного преобразования. Каждый действительный корень λ уравнения (1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом, изложенном в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

П ример 1.5.4.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования

Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид

(11-λ)а₁+2а₂-8а₃=0

2а₁+(2-λ)а₂+10а₃=0 (1.5.7)

-8а₁+10а₂+(5-λ)а₃=0

Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид

λ ³-18 λ²-81 λ+1458=0, а его решение λ₁=9, λ₂=18, λ₃=-9. Найденные зна­чения λ_і, і=1,3 подставим в (1.5.7)

Р ешение этой системы х₁= С(2,2,1)^Т, С єR, а соответствующий еди­ничный вектор х⁰₁ =(2/3, 2/3, 1/3) ^Т

При λ ₂=18: х⁰₂=(-2/3, 1/3, 2/3)^Т при λ₃=-9 х⁰₃ =(1/3, -2/3, 2/3)

Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

1.Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы вещественны.

2.Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отве­чающие различным собственным значениям ортогональны. (Проверьте на собственных векторах матрицы примера 1.5.4).

Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры n-мерных векторов.

2.Что такое линейное векторное пространство, какое пространство

называется евклидовым?

З. Что такое базис в n -мерном пространстве?

4 . Как определяется линейное преобразование?

5.Докажите неравенство Коши-Буняковского.

6. Докажите неравенство ||x+y||≤||x||+||y||

7. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диаго­нальный вид?

8.Сформулируйте алгоритм нахождения собственных векторов.