Санкт-Петербургский государственный университет

Математико-механический факультет

Кафедра исследования операций

Построение булевых функций максимальной нелинейности

Курсовая работа студента 222 группы

Исаева Глеба Андреевича

Научный руководитель

Доцент /Агафонова И.В./

Оценка …….

Санкт-Петербург

2014

1. Оглавление

Введение……………………………...…………………..……...…………….3

Используемые определения и обозначения..…………..……...…………….4

Конструкция бент-функции…………………………………………………..7

Заключение…………………………………………………………………...11

Список использованных источников…..…………………………………...12

2. Введение

Работа посвящена построению булевых функций максимальной нелинейности, которые нужны для достижения криптографических целей.

В 3-ей главе на множестве двоичных векторов длины n будут введены определения полинома Жегалкина, нелинейности функции и т.д.

Во 4-ой главе будут введены определения преобразования Уолша-Адамара и бент-функции, а также изучена и разобрана теорема Мэйорана-МакФарланда, которая является одним из методов получения бент-функций.

3. Используемые определения и обозначения

Для начала введем определение булевой функции. Булева функция – это такая функция , у которой все независимые аргументы и значения функции являются логическими переменными, то есть принимают только два значения: 0 и 1. Аргументы функции называются булевыми векторами.

Булеву функцию можно представить в виде таблицы истинности.

Пример 1:

X1	X2	X3	f (X1, X2, X3)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Функция от n переменных имеет 2ⁿ значений. Так как на каждом векторе булева функция может принимать значение либо 0, либо 1, то количество всех n-арных булевых функций равно 2²ⁿ.

Определение. Полином Жегалкина – это такая булева функция, которая допускает только 2 операции: конъюнкция и сложение по модулю 2. Также он имеет альтернативное название – алгебраическая нормальная форма (АНФ). Любую булеву функцию можно единственным образом представить в виде полинома Жегалкина.

Этот полином обычно записывают в следующем виде:

Р(X₁,X₂,…,X_n) = А₀ + A₁X₁ + A₂X₂ + … + A_nX_n + A₁₂X₁X₂ + A₁₃X₁X₃ + +… + A_1…nX₁…X_n , где А_i1…in{0,1}.

По приведенной таблице истинности можно построить АНФ функции. Воспользуемся алгоритмом нахождения коэффициентов полинома Жегалкина. Алгоритм таков:

1. Берем вектор значений функции и делим его пополам.

2. Первую половину переписываем в новый столбец в таком же порядке.

3. Вторую половину складываем с первой по модулю 2 и записываем результат во вторую половину нового столбца.

4. Каждые половинки делим еще на две половины.

5. Повторяем шаги 2-4 до тех пор, пока каждый кусочек не будет состоять из одного элемента.

6. Записываем полученный вектор в таблицу истинности. Этот вектор представляет собой все коэффициенты перед каждым мономом

Алгоритм описан в [2, глава 2, §2.1].

Реализуем этот алгоритм на примере 1.

0 0 1 1 0 1 1 0	0 0 1 1	0 0	0
			0
		1 1	1
			0
	0 1 0 1	0 1	0
			1
		0 0	0
			0

Самый последний столбец и есть вектор коэффициентов АНФ функции. Теперь запишем функцию в виде полинома Жегалкина. Каждый коэффициент должен стоять напротив своего набора переменных. Для начала запишем вектор в таблицу.

X1	X2	X3	A1…n
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

Таким образом, полином Жегалкина примера 1 будет иметь вид:

f(X₁,X₂,X₃) = X₂ + X₁X₃

Введем еще несколько определений.

Алгебраическая степень функции – это степень АНФ этой функции. Степень АНФ функции – это максимальная степень среди всех мономов x^N=_iNx_i, то есть наибольшая мощность подмножества N. Если степень функции будет равна 1, то такая булева функция называется аффинной. Ее АНФ имеет вид:

f(X₁,…,X_n) = A₁X₁ + A₂X₂ + … + A_nX_n + B = <A,X> + B , где В{0,1}.

Вес Хэмминга булевой функции – это число единиц вектора значений этой функции. Обозначим вес в виде wt(f).

Расстоянием Хэмминга между двумя функциями f и g называется вес функции f + g или, иначе говоря, число таких векторов x, при которых f(x)≠g(x).

Нелинейность N(f) булевой функции f – это расстояние Хэмминга между f и множеством аффинных функций _n. Для того, чтобы посчитать нелинейность, рекомендуется сделать преобразование Уолша-Адамара 2-го рода и воспользоваться специальной формулой (см. ниже).