1. 9 Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности электростатического поля

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью зарядов +.

Пусть поверхностная плотность зарядов или заряд, приходящийся на единицу поверхности . Силовые линии поля перпендикулярны этой плоскости и направлены от нее в обе стороны (рис.1.10).

Построим замкнутую цилиндрическую поверхность с основаниями dS, параллельными заряженной поверхности и образующей, параллельной вектору . Следуя последнему условию, поток напряженности Ф_Е через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поэтому полный поток через цилиндрическую поверхность равен сумме потоков сквозь его основания. Так как вектор перпендикулярен основаниям, Е_n=Е и суммарный поток Ф_Е можно записать Ф_Е=2ЕdS.

Рисунок 1.10 - Определение на­пряженности поля беско­нечной заряженной плос­кости.

Согласно теореме Гаусса , где - заряд, охватываемый цилиндрической по­верхностью. Таким образом ,

отсюда .

Если плоскость помещена в среду с относительной ди­электрической проницаемостью , то напряженность электростатического поля, соз­даваемая плоскостью, равна . Из формулы следует, что Е не зависит от расстояния между плоскостью и точкой на­блюдения, т.е. поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Рисунок 1.11 - Определение на­пряженности поля двух параллельных разноимен­но заряженных плоско­стей.

На рис.1.11 перпендикулярно чертежу располо­же­ны две такие плоскости с поверхностными плотно­стями за­рядов + и -. Силовые линии плоскостей перпенди­ку­лярны им и параллельны между собой. Силовые ли­нии выходят из плоскости + и входят в плоскость ‑. На ри­сунке сплошными стрелками изо­бражено поле плоскости + и пунктирными - поле плоскости -. Напряженности полей обеих плоскостей равны по абсолютной величине . Однако, справа и слева от плоскостей напряженности и направлены проти­во­положно, поэтому суммарная Е=0 и поле отсутствует. В области между плоскос­тями и направлены одинаково, поэтому .

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью + . Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 1.12).

Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если г > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса

4r²E = Q/₀, откуда

П ри r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от г приведен на рис. 1.13. Если r < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует

(Е = 0).

4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью  ( - заряд, приходящийся на единицу объема).

Учитывая соображения симметрии, можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае. Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r' < R охватывает заряд Q' = 4/3r³. Поэтому, согласно теореме Гаусса,

4 r²E=Q/_4/3r³/_

Учитывая, что , получаем

График зависимости Е от г для рассмотренного случая приведен на рис. 1.14.

5 . Поле равномерно зараженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 1. 15) заряжен равномерно с линейной плотностью  ( - заряд, приходящийся на единицу длины).

Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2rlE. По теореме Гаусса при r > R 2rlE = l/₀, откуда

Если г < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E = 0.