1.7 Поток вектора напряженности электростатического поля

Рисунок 1.6 - Поток вектора Е через

площадку dS.

Чтобы с помощью силовых линий можно было характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, их условились проводить с определенной густотой. Число ли­ний напряженности, пронизывающих единицу площади перпендикулярной им поверхности, должно быть равно модулю вектора . Число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку dS, называется потоком вектора напряженности dФ_Е через площадку dS. Эта величина считается по формуле dФ_Е=ЕdScos(), где  - угол между вектором нормали к площадке dS и вектором . Представим величину элемента поверхности в виде вектора . Таким образом - это вектор, численно равный площади элемента поверхности и совпадающий по направлению с наружной нормалью к нему. Тогда Е_n=Еcos - есть проекция вектора на нормаль к площадке dS (рис.1.6) и .

Если плоская поверхность S перпендикулярна силовым линиям однородного электрического поля, то поток напряженности через нее равен Ф_Е=ЕS. Если площадка dS параллельна линиям напряженности, то поток dФ_Е через нее равен нулю, так как в этом случае и Е_n= 0. Если поверхность S произвольной формы, а поле неоднородное, то поверх­ность разбивают на малые элементарные площадки dS, на каждой из которых на­пря­женность поля постоянная. Поток напряженности через каждую элементар­ную площадку равен dФ_Е=Е_ndS, а поток напряженности поля через всю поверхность представится суммой эле­ментарных потоков и в итоге будет равен .

Поток Ф_Е может быть положительным и отрицательным в зависимости от угла , величина которого определяется выбором направления нормали . Для рас­чета Ф_Е через замкнутую поверхность S принято использовать только внешнюю нормаль, т.е. нормаль, направленную наружу от поверхности. Поэтому поток будет считаться отрицательным, если линии напряженности поля направлены внутрь замкнутой по­верхности, если линии направлены наружу - он положительный. Единицей измерения потока вектора напряженности электростатического поля является вольт-метр (Вм).

1. 8 Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Рисунок 1.7 - К выводу теоремы Гаусса.

Определим поток напряженности электростати­ческого поля зарядов q₁,q₂,...q_n в вакууме (=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической повер­х­ности радиусом R, окружающей один заряд +q, нахо­дящийся в ее центре (рис.1.7).

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно .

П

Рисунок 1.8 - Пересечение силовыми линиями поверхности, охватывающей заряд.

лощадь поверхности сферы равна . Отсюда следует .

Полученный результат будет справедлив и для поверхности S произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.

На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватываю­щая заряд q0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то вхо­дят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью являет­ся нечетным.

Как отмечалось, линии напря­женности, выходя­щие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, соз­дают положительный поток Ф_е; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Ф_е. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммар­ного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.

Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то к

Рисунок 1.9 - Пересечение силовыми линиями поверхности, не охватывающей заряд.

оличество силовых линий, входящих в данную поверх­ность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора через такую поверхность равен нулю: Ф_Е=0.

Рассмотрим самый общий случай поверхности про­извольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q₁,q₂,...q_n равна векторной сумме напряженностей, создавае­мых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора - результирующей напряженности поля на направление нормали к пло­щадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направление: ,

отсюда .

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную ₀. Эта формулировка представляет собой теорему Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помо­щью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.