Основные формулы

Электрическая емкость уединенного проводника

С=q/φ,

где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.

Электроемкость конденсатора

С=q/U

где U=φ₁-φ₂ – разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε,

С= 4πε₀εR.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

Емкость плоского конденсатора

С=εε₀S/d,

где S – площадь пластин; d – расстояние между ними; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)

С=4πε₀εR₁R₂/(R₂-R₁).

Энергия заряженного конденсатора

W=qU/2=q²/2C=CU²/2

Объемная плотность энергии электростатического поля

ω= /2=εε₀E²/2

где Е – напряженность электрического поля; D – электрическое смещение.

Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора

F=εε₀E²S/2=εε₀SU²/2d²=σ²S/2εε₀

Примеры решения задач

Задача 1. Конденсатор ёмкости С₁, заряженный до разности потенциалов U, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединённых незаряженных конденсаторов, ёмкости которых С₂ и С₃. Какой заряд протечёт при этом по соединительным проводам?

Решение. Вначале заряд первого конденсатора был равен q = C₁U. После подключения этот заряд перераспределился между конденсаторами таким образом, чтобы напряжения на первом конденсаторе и подключённой батарее были бы одинаковыми. Имеем:

q₁ + q₂ = q, ,

где q₁ − заряд на первом конденсаторе после подключения, а q₂ − заряд на подключённой батарее. Решая эти два уравнения, найдём q₁ и протёкший заряд Δq = q – q₁=

Задача 2. К источнику с э.д.с. U подключили последовательно два воздушных конденсатора, каждый ёмкостью С. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью ε. Во сколько раз уменьшилась напряжённость электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдёт через источник?

Решение. Найдём сначала протёкший заряд. Заряд конденсатора до заполнения диэлектриком равен , а заряд после заполнения

.

Отсюда протёкший заряд равен Δq = q₂ – q₁.

Напряжённость поля сначала равна , где d − расстояние между пластинами. После введения диэлектрика она становится равной

. Отсюда .

Ответ: , .

Задача 3. Диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε заполняет пространство между обкладками плоского конденсатора. Емкость конденсатора равна С. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U и отключен от источника напряжения. Затем диэлектрик медленно удаляют из конденсатора. Какую работу надо при этом совершить ?

Решение: Так как конденсатор отключается от источника напряжения, заряд на его обкладках не меняется. Энергия, запасенная конденсатором, равна

где С — емкость конденсатора с диэлектриком. После того как диэлектрик удален, емкость конденсатора уменьшается в ε раз. Следовательно,

т. е. запасенная конденсатором энергия увеличится в ε раз. Для увеличения энергии необходимо совершить работу по удалению диэлектрика, величина которой равна:

То, что для удаления диэлектрика нужно совершить работу, ясно из общих соображений: между индуцированным на диэлектрике зарядом и зарядом пластин действует притяжение, против сил которого и совершается внешняя работа при удалении диэлектрика из конденсатора.

З адача 4. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d₁ и d₂ и с проницаемостями ε₁ и ε₂. Площадь каждой обкладки равна S. Найти: а) ёмкость конденсатора; б) плотность σ ^/ связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоёв, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Рисунок 3.15. К задаче 4

Решение. Пусть заряд конденсатора равен q. (рис.3.15). Тогда электрическая индукция в нём равна D = q/S, а напряжённости электрического поля описываются выражениями:

, .

Разность потенциалов между пластинами равна U = E₁d₁ + E₂d₂. В свою очередь ёмкость конденсатора C= q/U, поэтому:

Поляризованность в слоях найдём при помощи формулы:

,

а поверхностная плотность связанного заряда , следовательно

.

Ответ: , .

Задача 5. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S=400см², заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый слой − прессшпан (ε₁ = 2) толщины l₁=0,2см; второй слой − стекло (ε₂ = 7) толщины l₂ = 0,3см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 В. Найти энергию конденсатора.

Решение: Энергию конденсатора можно найти по формуле: . Определим предварительно электроемкость , где Q = σS − заряд конденсатора.

Поскольку в плоском конденсаторе в пределах каждого диэлектрика поле однородно, то U = E₁ l₁ + E₂ l₂. Напряжённость поля в каждом слое диэлектрика:

,

Поэтому

.

Тогда электроёмкость конденсатора

.

а энергия конденсатора

Задача 6. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S. Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х₁ до х₂, если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора q;

б) напряжение на конденсаторе U?

Решение. а) Вначале энергия конденсатора была равна . После увеличения расстояния энергия равна . Совершённая работа равна А = W₂ − W₁,

б) Если напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным, то при увеличении расстояния между пластинами через источник протекает заряд

.

При этом батарея совершает отрицательную работу A₁ = -ΔqU. Поэтому энергетический баланс в этом случае запишется в виде:

.

Решая это уравнение, найдём работу А:

.

Выводы: Электроемкость – является важной характеристикой свойств проводников и конденсаторов, характеризующей способность накапливать заряд.