2.4 Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности

Как ранее показано, работа сил электростатического поля при перемещении за­ряда q₀ может быть записана с одной стороны, как , с другой же - как убыль потенциальной энергии, т.е. . Здесь dr - есть проекция элементарного перемещения dl заряда на направление силовой линии , - есть малая разность потенциалов двух близко расположенных точек поля. Приравняем правые части равенств и сократим на q₀ . Получаем соотношения

, . Отсюда .

Рисунок 2.2 - Эквипотенциа­льные поверхности и силовые линии поля точечного поло­жительного заряда.

Последнее соотношение представляет связь ос­новных характеристик электро­статического поля Е и . Здесь - быстрота изменения потенциала в направле­нии силовой линии. Знак ми­нус указывает на то, что вектор направлен в сторону убывания потенциала. Поскольку , можно записать проекции вектора на координатные оси: . Отсюда следует, что . Выраже­ние, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра  и обозначается как grad.

Напряженность электростатического поля равна гра­диенту потенциала, взя­тому с обратным знаком .

Для графического изображения распределения потенциала электростатичес­кого поля пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, потен­циал всех точек которых одинаков. Потенциал поля одиночного точечного заряда . Эквипотенциальные поверх­нос­ти в данном случае есть концентрические сферы с центром в точке расположе­ния за­ряда q (рис.2.2). Эквипотенциальных поверхностей можно провести бесконеч­ное множество, однако принято чертить их с густотой, пропорциональной величине Е.

2.5 Вычисление разности потенциалов по напряженности поля

Для определения разности потенциалов поля некоторых заряженных тел вос­пользуемся формулами их напряженностей Е и соотношением .

1.  Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда +. . Потенциал данного поля меняется только в на­правлении х, поэтому ; ; . Проинтегрируем обе части равенства ; , где х₁ и х₂ - расстояния от точек 1 и 2 до плоскости.

2.  Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плос­костей (+ и -).

Напряженность поля между пластинами , отсюда ; .

При расстоянии между пластинами равном d, их разность потенциалов равна ; .

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (r > R) вычисляется по формуле: . Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и г₂ от центра сферы (r₁ > R, r₂ > К, r₂ > r₁), равна

Если принять r₁ = r и r₂ = , то потенциал поля вне сферической поверхности задается выражением

Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен

График зависимости  от r приведен на рис. 2.3.

4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q вне шара (r > R) вычисляется аналогично полю сферы, поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и г₂ от центра шара (r₁ > R, г₂ > R, г₂ > г₁), определяется также как для сферы. В любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r' от его центра (r < R), напряженность определяется выражением:

Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от центра шара (r₁ < R, r₂ < R, r₂ > r₁) равна

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, заряженного с линейной плотностью , вне цилиндра (r > R) определяется формулой:

Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и г₂ от оси заряженного цилиндра (r₁ >R. г₂ > R, г₂ > г₁), равна