2.1.3. Равнопеременное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Если угловое ускорение при вращении твердого тела остается постоянным (), то законы изменения кинематических характеристик имеют вид:

(2.8)

Число оборотов, которое тело делает за одну секунду, называется частотой вращения . Это величина, обратная периоду обращения, т.е. времени одного полного оборота.

(2.9)

Если тело сделает оборотов, то

(2.10)

2.2. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Основными характеристиками вращательного движения тела являются: момент силы, момент инерции и момент импульса.

2.2.1. Момент силы

Рассмотрим твердое тело произвольной формы, которое может вращаться вокруг закрепленной оси. Пусть на тело действует произвольно направленная сила . Выберем в твердом теле какую-нибудь точку- центр вращения, например, лежащую на оси вращения (рис. 2.2).

] [

d

О

] [

Рис. 2.2

Проведем из нее радиус – вектор в точку приложения силы. Величина определяемая соотношением

, (2.11)

называется моментом силы относительно точки О. Модуль вектора определяется по формуле

, (2.12)

где - угол между векторамии,- длина перпендикуляра, опущенного из центра вращения на линию действия силы. Эта величина называется плечом силы.

В случае, когда твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, вращающее действие силы будет характеризоваться величиной, называемой моментом силы относительно этой оси.

Пусть на твердое тело действует произвольно направленная сила , приложенная к телу в точке С (рис. 2.3). Если ось вращения закреплена, то вращающее действие будет оказывать только та составляющая силы, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.е. сила_ (рис. 2.3).

Из точки пересечения указанной плоскости с осью вращения (точки О) проводим радиус-вектор в точку приложения силы_ .

Векторное произведение

(2.13)

будем называть моментом силы относительно осиZ.

Рис. 2.3

Этот вектор всегда направлен по оси вращения и связан с направлением вращения, вызванного силой _ , правилом правого винта.

Модуль момента силы относительно оси Z:

M_z = r∙F_∙sin α = F_∙d. (2.14)

2.2.2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения

Момент инерции при вращательном движении имеет тот же смысл, что и масса при поступательном движении. Момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции твердого тела зависит от размеров тела, его формы, от распределения плотности материала тела по его объему и от положения оси вращения.

Любое твердое тело представляет собой совокупность материальных точек массой , находящихся на расстоянииот оси вращения. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения:

(2.15)

Эта формула приближенная. Точной является формула

. (2.16)

Пользуясь формулой (2.16), можно найти момент инерции однородного тела правильной геометрической формы массойотносительно оси, проходящей через центр масс тела:

для стержня длиной (ось перпендикулярна стержню)

; (2.17)

для шара радиуса ; (2.18)

для диска радиуса (ось перпендикулярна диску)

. (2.19)

Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции относительно этой осиопределяется по теореме Штейнера:

. (2.20)

Здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно данной оси,- расстояние между осями.