II. Проверка основного закона динамики вращательного движения

твердого тела при M = const

1. Убедиться, что электропитание установки отключено!

2. Изменить положение цилиндров на стержнях крестовины, закрепив их на одинаковом расстоянии от оси крестовины до центра каждого цилиндра так, чтобы было возможно вращение маятника. Значение R₂ записать в табл. 2.

3. Записать в табл. 2 массу одного цилиндра (масса указана на торце цилиндра).

4. Оставить на нити наборный груз массы m₂ и, повторяя пункты «6»-«9» предыдущего задания, три раза провести измерения времени t движения груза массы m₂ на пути при том же значении радиуса двухступенчатого шкива. Найти среднее значение времени <t>. Результаты записать в табл. 2.

5. Из табл. 1 перенести в табл. 2 значения ,,.

6. По формулам (7) и (15) вычислить и момент инерции маятника. Результаты занести в табл. 2.

7. Проверить справедливость соотношения (14), сделать вывод.

Таблица 2

m2

h

ε2

t

<t>

ε3

Ед. изм.

кг

м

рад/с2

кг·м2

с

c

рад/с2

кг·м2

1

2

3

Контрольные вопросы

1. Вращательное движение абсолютно твердого тела.

2. Линейные и угловые перемещения, скорости, ускорения; связь между ними.

3. Понятие момента силы относительно точки и относительно оси вращения. Вывод расчетной формулы для момента силы в данной работе.

4. Определение момента инерции точки, тела. Расчет момента инерции маятника в данной работе.

5. Основной закон динамики вращательного движения.

6. Устройство и принцип действия маятника Обербека.

7. Методика проверки основного закона динамики вращательного движения в данной работе.

Лабораторная работа 21-4 определение момента инерции твёрдого тела методом крутильных колебаний

Цель работы: Определение момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: Установка лабораторная „Унифилярный подвес“. Электронный блок ФМ 1/1. Набор грузов. Штангенциркуль. Линейка.

Краткая теория

Моментом инерции твердого тела называется физическая величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Твёрдое тело можно представить как совокупность большого числа материальных точек. В таком случае момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех образующих его материальных точек относительно этой оси и определяется по формуле

где r- расстояние от данной материальной точки массойдо оси вращения, - плотность вещества твердого тела, – объём тела.

Момент инерции тела зависит от его массы, формы, размеров и положения оси вращения.

Найдём момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрииZ (рис. 1).

Совместим начало координат с центром масс параллелепипеда, а координатные оси направим параллельно его граням , ,.

Для определения момента инерции параллелепипеда относительно оси разобьём его на параллельные слои толщиной , высотой и длиной . Каждый слой разобьём на элементарные объёмы в виде столбиков высотой и площадью основания (рис.1).

Масса каждого элементарного объёма , где – плотность металла, из которого сделан параллелепипед.

Вклад каждого элементарного объёма в общий момент инерции параллелепипеда равен

, (1)

где – расстояние столбика до оси вращения ().

Момент инерции каждого слоя можно найти, проинтегрировав выражение (1) по в пределах от до:

(2)

Для определения момента инерции всего параллелепипеда нужно выражение (2) проинтегрировать по в пределах от до:

.

Откуда следует окончательное выражение:

. (3)

Полученная формула позволяет вычислить значение момента инерции однородного параллелепипеда относительно оси симметрии .

Однако моменты инерции твёрдых тел относительно заданной оси вращения можно определить и экспериментально.

Для определения момента инерции тела экспериментальным путём в данной лабораторной работе служит установка «Унифилярный подвес» (рис. 2).

Установка состоит из основания 1, вертикальной стойки 2, верхнего 3, нижнего 4 и среднего 5 кронштейнов.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения стальной проволоки 8, с ней связана металлическая рамка 9, в которой закрепляется исследуемое тело 6.

Если рамку отклонить от положения равновесия и отпустить, она будет совершать колебания. Колебания такого рода называют крутильными. Они происходят под действием упругих сил, возникающих в стальной проволоке 8.

Известно, что период крутильных колебаний относительно оси зависит от момента инерции колеблющейся системы относительно этой оси:

, (4)

где – постоянная момента упругих сил.

Если исследуемое твёрдое тело 6 жёстко закрепить в рамке 9, то для периода колебаний такой системы можно записать:

, (5)

где - момент инерции рамки, а- момент инерции исследуемого тела.

Период колебаний рамки без тела определяется соотношением

. (6)

Решая систему уравнений (5) и (6), получим для выражение

. (7)

Из формулы (7) следует, что если известен момент инерции рамки, то для нахождения момента инерции исследуемого тела достаточно экспериментально определить периоды колебаний унифилярного подвеса с телом и без него.

Момент инерции рамки также можно определить опытным путём. Для этого на ней нужно укрепить грузы 7 (рис 2). В качестве грузов используются два цилиндра. Период крутильных колебаний рамки с цилиндрами:

; (8)

где - момент инерции цилиндра.

Момент инерции цилиндра можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера:

, (9)

где – масса цилиндра, – радиус цилиндра, – расстояние от оси цилиндра до оси вращения.

Из формул (6), (8) и (9) для момента инерции рамки следует выражение, в которое входят экспериментально измеряемые величины:

. (10)