3. Показательная модель

Модель вида

(6.8)

называется показательной моделью. Ей равносильна экспоненциальная модель

. (6.9)

Прологарифмировав выражение (6.9), получим полулогарифмическую (логарифмически-линейную) модель

. (6.10)

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определять темп роста или прироста каких-либо экономических показателей. Например, при анализе банковского вклада по первоначальному вкладу и процентной ставке, при исследовании зависимости прироста объёма выпуска от относительного (процентного) увеличения затрат ресурса, бюджетного дефицита от темпа роста ВНП, темпа роста инфляции об объёма денежной массы и т.д.

В качестве примера можно примести зависимость, хорошо известную в банковском и финансовом анализе

,

где Y₀ – начальная величина переменной Y (например, первоначальный вклад в банке); r – сложный темп прироста величины Y (процентная ставка); Y_t – значение величины Y в момент времени t (вклад в банке в момент времени t).

Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений (x_i, y_i) рассматриваются наблюдения (x_i, lny_i). Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведённая замена удачна и использование полулогарифмической модели обосновано.

Отметим, что иногда в компьютерных программах используется логарифмическая параболическая модель

, (6.11)

а также модифицированная экспонента

. (6.12)

Константа k носит название асимптоты экспоненты, т.к. значения этой функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут и другие варианты модифицированной экспоненты. Основной недостаток модифицированной экспоненты состоит в том, что она является существенно нелинейной моделью.

4. Гиперболические модели

Модель вида

(6.13)

называется гиперболической моделью. Эта модель обычно используется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной X асимптотически приближает зависимую переменную Y к некоторому пределу (к ₀).

Гиперболическая модель (6.13) может отражать зависимость между объемом выпуска (X) и средними фиксированными издержками, а также для характеристики связи времени обращения товаров от величины товарооборота. То есть данная модель используется как на макроуровне, так и на микроуровне.

Классическим примером гиперболической модели является кривая Филипса, характеризующая нелинейные соотношения между нормой безработицы X и процентом прироста заработной платы Y. Английский экономист А. Филипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов XX в. установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

При ₁>0 имеем гиперболическую зависимость, которая при x приближается к постоянному значению ₀. Так, для кривой Филипса

величина b₀=0,00679 означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы в пределе практически к нулю. Соответственно можно определить тот уровень безработицы, при котором заработная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.

При ₁<0 имеем возрастающую функцию с верхней асимптотой при x. примером такого рода зависимости может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривых Энгеля. В 1857 г. немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается соответственно увеличивается доля доходов, расходуемая на непродовольственные товары. Однако это увеличение не беспредельно, ибо на все товары сумма долей не может быть больше единицы, а на отдельные непродовольственные товары этот предел может характеризоваться величиной параметра ₀.

Разновидностью гиперболической модели является обратная модель

. (6.14)

Эта модель сводится к линейной модели при помощи обратного преобразования Z=1/Y. Следует отметить, что параметры ₀ и ₁ интерпретируются также как и в линейной модели, если имеет смысл величина 1/Y. Например, если под Y подразумеваются затраты на 1 руб. продукции, а под X – производительность труда (выработка продукции на одного работника), то обратная величина характеризует затратоотдачу и параметр ₁ имеет экономическое содержание – средний прирост продукции в стоимостном измерении на 1 руб. затрат с ростом производительности труда на единицу своего измерения.