2. Описание основных нелинейных регрессионных моделей

   1. Полиномиальная модель

Модель вида

(6.3)

называется полиномиальной моделью. Как показывает опыт, среди полиномиальных моделей чаще всего используется параболическая и кубическая модели. Ограничение использования полиномов более высоких степеней связана с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.

Параболическая модель

(6.4)

может отражать зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками; или между расходами на рекламу и прибыль и т.д. Параболическая модель целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную и наоборот. Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболической модели становятся трудно интерпретируемыми, поэтому форма связи заменяется другой нелинейной моделью (например, степенной).

При ₁>0 и ₂<0 парабола симметрична относительно максимума, т.е. точки в которой рост сменяется на падение. Такого рода функции можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста. С увеличение возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может привести к снижению заработной платы работника.

Кубическая модель

(6.5)

в микроэкономике может характеризовать зависимость общих издержек от объема выпуска. Использование кубической модели более проблематично, чем параболической модели, поскольку при изменении фактора характер связи рассматриваемых признаков меняется два раза (рост, спад и опять рост).

2. Степенная модель

Модель вида

(6.6)

называется степенной моделью. Эта модель может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (тогда <0) или дохода X (тогда >0). Функция (6.7) может отражать также зависимость объёма выпуска Y от использования ресурса X (производственная функция), в которой 0<<1, а также ряд других зависимостей.

Стандартным и широко используемым подходом к анализу моделей подобного вида в эконометрике является логарифмирование. Прологарифмируем обе части равенства (6.6), имеем

.

После замены ln=₀ и ln=₀, получим

. (6.7)

Это есть т.н. двойная логарифмическая модель (и зависимая, и объясняющая переменные заданы в логарифмическом виде).

Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений (x_i, y_i) рассматриваются наблюдения (lnx_i, lny_i). Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведённая замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.

Степенные производственные функции обладают большими возможностями. Они хорошо моделируют как линейные, так и криволинейные, как возрастающие, так и убывающие зависимости. Поэтому показательные функции довольно часто используются в экономических исследованиях.