5. Рівняння лінійні та Бернуллі

Означення 9. Лінійним диференціальним рівнянням першого по­рядку називають рівняння, яке містить шукану функцію та її похідну у першій степені. Таке рівняння можна привести до вигляду

. (18)

Теорема 1. Загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння першого порядку вигляду (18) можна знайти за фор­мулою

. (19)

Доведення. Будемо шукати розв'язок рівняння (18) у вигляді

. (20)

Одну із цих функцій можна взяти довільно, а друга буде ви­значатися так, щоб їх добуток задовольняв рівняння (18). Диференціюванням рівності (20) по одержимо:

. (21)

Підставимо (20) та (21) у задане рівняння (18). Тоді

або (22)

Визначимо так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тоб­то, виконувалась рівність

. (23)

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінни­ми. Відокремлюючи змінні, одержимо

.

Нам достатньо взяти . Тому візьмемо , тоді

. (24)

Підставимо функцію вигляду (24) у формулу (22). Одержимо:

.

Підстановка одержаних функцій та у формулу (20) дає загальний розв'язок рівняння (18) у вигляді

що й треба було довести.

Відмітимо, що формула (19) здається складною. Але вона знач­но спрощує розв'язування багатьох диференціальних рівнянь і якщо її не пам'ятати, то кожного разу цю формулу треба виводити.

Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

(25)

де та називають рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі підстановкою

(26)

зводиться до лінійного рівняння відносно функції .

Дійсно, помножимо рівняння Бернуллі (25) на і зробимо підстановку (26), при якій

.

Тоді рівняння Бернуллі прийме вигляд

. (27)

Загальний розв'язок лінійного рівняння (27) знайдемо за формулою (19) у вигляді

.

Звідси знаходять загальний розв'язок рівняння Бернуллі.

Приклад 8. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Запишемо це рівняння у вигляді

.

Це рівняння Бернуллі з . Поділимо його на , одержимо:

.

Зробимо заміну , тоді і рівняння прийме вигляд

.

Це лінійне рівняння відносно . За формулою (19) знаходимо

.

Використали основну логарифмічну тотожність .

Отже, одержали:

– загальний розв'язок рівняння Бернуллі.

Висновок: Ми ознайомились з основними поняттями та задачами теорії диференціальних рівнянь, з правилами та методами ДР першого порядку, а саме, розглянули ДР з відокремленими змінними, однорідними, лінійними, Бернуллі. Отже, мета лекції досягнута.

Лекція розроблена: професором кафедри ВМ Онищенко В.В._____________

11