2. Математичні моделі деяких ситуацій та процесів

Приклад 1. (Закон природного зростання). Законом природ­ного зростання називають такий закон, за яким швидкість зро­стання речовини пропорційна кількості речовини.

Треба знайти формулу для визначення кількості речовини у будь-який момент часу, якщо відомо, що у початковий момент часу, тобто при , кількість речовини дорівнювала .

Розв’язання. Позначимо через шукану кількість ре­човини в момент . Тоді швидкість зростання речовини є швидкість зміни функції . Згідно з механічним змістом похідної та умовою задачі закон природного зростання речовини можна записати у вигляді

, (1)

де – коефіцієнт пропорційності.

За умовою задачі повинна виконуватись рівність

. (2)

Отже, математична модель закону природного зростання ре­човини є задача Коші для диференціального рівняння першого порядку вигляду (1) з початковою умовою вигляду (2).

Рівняння (1) досить просте, тому можна знайти його загаль­ний розв'язок.

Дійсно, рівняння (1) можна записати у вигляді

або .

Якщо диференціали двох функцій рівні, то функції можуть відрізнятись лише довільною сталою, тому

.

Звідси, потенціюванням знаходимо

. (3)

Формула (3) дає вираз для кількості речовини як функції часу. Вона містить довільну сталу , яка може приймати довільні чи­слові значення. Тому формула (3) дає не один, а нескінченну кількість розв'язків задачі.

Використовуючи початкові умови (2), одержимо:

.

Отже, формула (3) тепер буде мати вигляд

. (4)

Це і є шукана формула.

За законом природного зростання (4) зростає кількість живих клітин, кристалів, населення.

Приклад 2. (Закон радіоактивного розпаду). Відомо, що ра­діоактивний розпад речовини здійснюється так: швидкість розпаду речовини у будь-який момент часу пропорційна кіль­кості речовини, що не розпалась.

Треба знайти формулу, за якою можна визначити кількість речовини , яка ще не розпалась, у будь-який момент часу при початковій кількості речовини .

Розв'язання. Використовуючи механічний зміст похідної та умову задачі, закон радіоактивного розпаду речовини можна записати у вигляді

, (5)

де коефіцієнт від'ємний тому, що функція спадає і її похідна від'ємна.

Рівняння (5) аналогічне рівнянню (1) і тому можна записати шукану формулу у вигляді

. (6)

Приклад 3. (Рівняння руху). Нехай матеріальна точка масою рухається в просторі. Радіус-вектор цієї точки позна­чимо . Координати точки є і координатами радіус-вектора . Для математичного опису руху матеріальної точки треба знай­ти вираз або його координат у вигляді функції часу .

Розв'язання. Згідно з механічним змістом похідних пер­шого та другого порядків, вектор

є швидкість, а вектор

є прискоренням руху точки .

За законом Ньютона

, (7)

де сила .

Рівняння (7) називають основним рівнянням механіки. Це рівняння еквівалентне трьом рівнянням у координатній формі

. (8)

Отже, одержали, що математична модель руху є диференціаль­не рівняння другого порядку (7) або система диференціальних рівнянь (8).

Приклад 4. (Зростання інвестицій). Економісти встановили, що швидкість зростання інвестованого капіталу у будь-який момент часу пропорційна величині капіталу із коефіцієнтом пропорційності рівним узгодженому відсотку неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зростання інвестованого капіталу, враховуючи величину початкової інвестиції .

Розв'язання. Спочатку побудуємо математичну модель цієї задачі.

Позначимо: – величина інвестованого капіталу у момент (шукана функція);

тоді – швидкість зміни величини інвестиції, .

За умовою задачі маємо:

. (9)

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння пер­шого порядку аналогічного рівнянню (1).

Тому загальним розв'язком диференціального рівняння буде функція

. (10)

Згідно з початковою умовою при маємо

.

Отже, розв'язком задачі Коші (9) буде функція

. (11)

Це означає, що при умовах задачі інвестиції з часом зроста­ють за експоненціальним законом.