3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Означення 6. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

(12)

називають рівнянням з відокремленими змінними.

У цьому рівнянні коефіцієнтом при є функція, яка зале­жить лише від або стала величина, а коефіцієнт при – функція, яка залежить лише від або стала величина.

Загальний розв'язок рівняння з відокремленими змінними знаходять за формулою

, (13)

тобто шляхом його інтегрування.

Дійсно, ліву частину формули (12) можна розуміти як повний диференціал деякої функції , тобто

.

Тоді рівняння (12) буде мати вигляд:

є стала.

Інтегруючи що рівність та використовуючи властивість невизначеного інтеграла , одержимо , що й треба було довести.

Приклад 5. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язання. У заданому рівнянні при та при записані функції, які залежать лише від та , відповідно.

Тому це рівняння з відокремленими змінними і його загаль­ний розв'язок знайдемо шляхом інтегрування. Одержимо:

– загальний розв'язок.

Означення 7. Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

(14)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Загальний розв'язок такого рівняння знаходять шляхом зведення його до рівняння з відокремленими змінними, тобто до вигляду

з подальшим інтегруванням.

Приклад 6. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Для визначення типу заданого диференці­ального рівняння першого порядку запишемо його у такому ви­гляді

. (15)

Отже, рівняння має вигляд (14), тобто воно з відокремлюваними змінними. Приведемо рівняння (15) до рівняння з відокрем­леними змінними шляхом його ділення на . Одержимо:

.

Шляхом інтегрування одержимо

.

Отже, загальним інтегралом заданого рівняння буде

.

Якщо розв'язати цю рівність відносно , то одержимо за­гальний розв'язок диференціального рівняння.

4. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Означення 8. Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду

, (16)

де функція не змінюється при заміні та на та , тобто задовольняє умову

.

Відмітимо, що функцію яка задовольняє вказану умо­ву, називають однорідною нульового виміру.

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шля­хом підстановки

(17)

можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад 7. Розв’язати рівняння

Розв'язання. Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку тому, що воно має вигляд (16) та для правої частини рівняння виконується умова:

.

При підстановці маємо:

.

Тому задане рівняння прийме вигляд

.

Останнє рівняння є рівнянням з відокремленими змінними. Інтегруючи його, знаходимо:

Підставимо замість її значення . Одержимо

.

Отже, загальний розв'язок заданого рівняння розв'язали відносно .