4. Помехоустойчивое кодирование

4.1. Основные положения по теории помехоустойчивого кодирования

Под кодированием в широком смысле понимают процесс преобразования сообщений в сигналы. Под кодированием в узком смысле понимают представление дискретной информации в виде определенных сочетаний символов (обычно 0 или 1).

Под помехоустойчивыми кодами понимают коды, позволяющие обнаружить и исправить ошибки, происходящий при передаче информации. Это достигается ценой введения избыточности, которая позволяет так выбрать передаваемые последовательность символов, чтобы они удовлетворяли дополнительным условиям, проверка которых на приемной стороне давала бы возможность как обнаружить, так и исправить ошибки любой кратности.

Количество разрядов nв кодовой комбинации принято называть длиной или значностью кода. Символы каждого разряда могут принимать значения 0 или 1. Количество единиц в кодовой комбинации называется весом кодовой комбинации.

При взаимно независимых ошибках вероятность искажения rсимволов вn-разрядной кодовой комбинации, в соответствии с основным биноминальным законом распределения, равна:

,

где - число сочетаний ошибок кратностиrи общего числа передаваемых символовn,

(1 - P_э) – вероятность правильного приема символа,

(1 – Р_э)^n-r– вероятность того, чтоn-rсимволов будут приняты правильно,

Р_э– вероятность искажения одного символа.

Если учесть, что Р_э<< 1, то в этом случае наиболее вероятны ошибки низшей кратности. Их следует обнаруживать и исправлять в первую очередь.

Минимальное кодовое расстояние для исправления ошибок кратности q:

,

при этом должно выполняться условие: .

Если код не обладает корректирующими свойствами, то вероятность приема ошибочного Р_ОШбудет равна вероятности искажения информационныхkкодовых комбинаций. Для корректирующего кода Р_ош >P_k. В реальных условиях, поэтому более удобной оценкой помехоустойчивости кода будет логарифмическая величина:

Иногда пользуются для оценки качества корректирующего кода коэффициентом обнаружения.

,

где Р_оо– вероятность обнаружения ошибок,

Р_к– вероятность искажения всехkсимволов.

Важной характеристикой является избыточность кода, которую определяет коэффициент избыточности:

,

где m– количество избыточных символов.

Пример1.

Переданы три кодовые комбинации: 010110, 000100, 100000. Определить исправляющую способность кода.

Решение.

Определить исправляющую способность кода можно по формуле:

Для этого, определим минимальное кодовое расстояние.

Передаваемые кодовые комбинации	Полученные в результате сложения
010110	010010
000100	110110
100000	100100

Теперь определим кодовые расстояния для всех кодовых комбинаций.

010010 (d_min=2), отсюдаt=1,q=0

110110 (d_min=2), отсюдаt=2,q=1

110110 (d_min=2), отсюдаt=1,q=0

4.2. Задачи по теории помехоустойчивого кодирования

Задача 1.

Построить производную и проверочную матрицы для систематического кода 15/11. Определить алгоритм кодирования и декодирования.

Задача 2.

Построить код Хемминга для исправления однократной ошибки. Число информационных команд – 32. Определить:

1. Алгоритм кодирования и декодирования

2. Коэффициент избыточности

Задача 3.

Образующая матрица систематического кода 11/7 имеет вид:

1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0

1. В линию связи передается кодовая комбинация 1101001. Определить какие избыточные символы должны передаваться в линию связи

2. Определить опознаватель ошибки, если сбой произошел в 3-м разряде: 1111001

Задача 4.

Переданы три кодовые комбинации: 010110, 000100, 100000. Определить исправляющую способность кода.

Задача 5.

Определить исправляющую способность кода, если переданы разрешенные кодовые комбинации: 00000, 01100, 10101, 11011

Задача 6.

Передается 16 команд. Необходимо обеспечить обнаружение ошибки кратности 1. Определить:

1. Общее число разрядов ‘n’

2. Число избыточных ‘m’

3. Помехоустойчивость кода

4. Коэффициент избыточности и коэффициент обнаружения.

Вероятность искажения одного символа составляет 10^-3.

Задача 7.

Определить корректирующую способность кода, имеющего следующие разрешенные (информационные) кодовые комбинации: 00000, 01110, 10101, 11011.

Задача 8.

Передается 16 кодовых команд. Выбрать число информационных из общего числа, чтобы обеспечить исправление ошибки кратности S=1 (Выбрать передаваемые кодовые команды и приписать к ним подмножества так, чтобы они не пересекались).

Задача 9.

Построить проверочную матрицу систематического кода, если образующая матрица:

0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1	0

Определить алгоритм кодирования и декодирования. Какое количество ошибок можно исправить таким кодом?

Задача 10.

Передается 5 команд: 0011, 1100, 0000, 1001, 1000. Определить корректирующую способность кода.

Задача 11.

Передана кодовая команда 0101101101 рекуррентным кодом t=1.

1. Определить избыточные символы

2. Построить схему кодирования

3. Подвергнуть искажению любой из символов и определить вектор ошибки.

Задача 12.

В информационном канале без помех передачи сообщений используется алфавит с четырьмя различными символами. Длительность символов τ=1мкс (одинаковы). Определить пропускную способность канала передачи информации.

Задача 13.

Передана кодовая комбинация 1100. Известно, что вес вектора ошибки w=2. Определить:

1. Все возможные варианты искаженных кодовых комбинаций

2. Кодовые расстояния, необходимые для обнаружения и устранения всех ошибок

Задача 14.

Принята кодовая комбинация 0101. Вектор ошибки 0011. Определить исходную кодовую комбинацию.

Задача 15.

Передается 100 команд простым кодом. Известно, что вероятность искажения 1-го символа кодовой комбинации составляет 10^-3. Требуется:

1. Определить необходимую значность кода

2. Оценить его помехоустойчивость

3. Оценить помехоустойчивость при трехкратном повторении с групповой и посимвольной поверкой.

Задача 16.

Построить код Хемминга для исправления двукратной ошибки. Число информационных команд – 64. Определить:

1. Алгоритм кодирования и декодирования

2. Коэффициент избыточности

Задача 17.

Образующая матрица систематического кода 11/7 имеет вид:

1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0

1. В линию связи передается кодовая комбинация 1001101. Определить какие избыточные символы должны передаваться в линию связи

2. Определить опознаватель ошибки, если сбой произошел в 4-м разряде: 1110001

Задача 18.

Переданы три кодовые комбинации: 110100, 100101, 110010. Определить исправляющую способность кода.

Задача 19.

Определить исправляющую способность кода, если переданы разрешенные кодовые комбинации: 00001, 01000, 10001, 11001

Задача 20.

Передается 16 команд. Необходимо обеспечить обнаружение ошибки кратности 2. Вероятность искажения одного символа 2∙10^-3. Определить:

1. Общее число разрядов ‘n’

2. Число избыточных ‘m’

3. Помехоустойчивость кода

4. Коэффициент избыточности и коэффициент обнаружения.

Задача 21.

Передается 32 кодовых команды. Выбрать число информационных из общего числа, чтобы обеспечить исправление ошибки кратности S=2 (Выбрать передаваемые кодовые команды и приписать к ним подмножества так, чтобы они не пересекались).

Задача 22.

Построить проверочную матрицу систематического кода, если образующая матрица:

0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	0	1	0	1
0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	1	0	0

Определить алгоритм кодирования и декодирования. Какое количество ошибок можно исправить таким кодом?

Задача 23.

Передается 5 команд: 0001, 1101, 1010, 1011, 1000. Определить корректирующую способность кода.

Задача 24.

Передана кодовая команда 1101001011 рекуррентным кодом t=1.

1. Определить избыточные символы

2. Построить схему кодирования

3. Подвергнуть искажению любой из символов и определить вектор ошибки.

Задача 25.

В информационном канале без помех передачи сообщений используется алфавит с четырьмя различными символами. Длительность символов τ=0.2мкс (одинаковы). Определить пропускную способность канала передачи информации.

Задача 26.

Передана кодовая комбинация 1101. Известно, что вес вектора ошибки w=1. Определить:

1. Все возможные варианты искаженных кодовых комбинаций

2. Кодовые расстояния, необходимые для обнаружения и устранения всех ошибок

Задача 27.

Принята кодовая комбинация 0111. Вектор ошибки 1011. Определить исходную кодовую комбинацию.

Задача 28.

Передается 50 команд простым кодом. Известно, что вероятность искажения 1-го символа кодовой комбинации составляет 5∙10^-3. Требуется:

1. Определить необходимую значность кода

2. Оценить его помехоустойчивость

3. Оценить помехоустойчивость при трехкратном повторении с групповой и посимвольной поверкой.

Задача 29.

Построить производную и проверочную матрицы для систематического кода 11/7. Определить алгоритм кодирования и декодирования.

Задача 30.

Построить код Хемминга для исправления однократной ошибки. Число информационных команд – 16. Определить:

1. Алгоритм кодирования и декодирования

2. Коэффициент избыточности

Задача 31.

Образующая матрица систематического кода 11/7 имеет вид:

1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0

1. В линию связи передается кодовая комбинация 0100111. Определить какие избыточные символы должны передаваться в линию связи

2. Определить опознаватель ошибки, если сбой произошел в 2-м разряде: 1101011

Задача 32.

Переданы три кодовые комбинации: 011110, 010101, 101110. Определить исправляющую способность кода.

Задача 33.

Определить исправляющую способность кода, если переданы разрешенные кодовые комбинации: 10000, 01110, 00101, 01011

Задача 34.

Передается 32 команды. Необходимо обеспечить обнаружение ошибки кратности 1. Определить:

1. Общее число разрядов ‘n’

2. Число избыточных ‘m’

3. Помехоустойчивость кода

4. Коэффициент избыточности и коэффициент обнаружения.

Вероятность искажения одного символа составляет 10^-2.

Задача 35.

Передается 32 кодовых команды. Выбрать число информационных из общего числа, чтобы обеспечить исправление ошибки кратности S=1 (Выбрать передаваемые кодовые команды и приписать к ним подмножества так, чтобы они не пересекались).

Задача 36.

Построить проверочную матрицу систематического кода, если образующая матрица:

0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	0	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0

Определить алгоритм кодирования и декодирования. Какое количество ошибок можно исправить таким кодом?

Задача 37.

Передана кодовая команда 0111101001 рекуррентным кодом t=2.

1. Определить избыточные символы

2. Построить схему кодирования

3. Подвергнуть искажению любой из символов и определить вектор ошибки.

Задача 38.

В информационном канале без помех передачи сообщений используется алфавит с восемью различными символами. Длительность символов τ=10мкс (одинаковы). Определить пропускную способность канала передачи информации.

Задача 39.

Передана кодовая комбинация 1001. Известно, что вес вектора ошибки w=2. Определить:

1. Все возможные варианты искаженных кодовых комбинаций

2. Кодовые расстояния, необходимые для обнаружения и устранения всех ошибок

Задача 40.

Принята кодовая комбинация 1101. Вектор ошибки 1011. Определить исходную кодовую комбинацию.

Список рекомендуемой литературы

1. Кузьмин Н.В., Кедрус В.А. Основы информации и кодирования. "Высшая школа". 1986 – 236 с.

2. Крашр Г. Математические модели статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

3. Темников Ф.Е., Афонин В.Н., Дмитриев В.И. Теоретические основы информационной техники. М.: Энергия, 1979. 512 с.

4. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970. 432 с.

5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука. 1966. 664 с.

6. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. 2-е издание – м.: Советское…, 1971. 22-82 с.

7. Трахман А.М. Введение в обобщенную спектральную структуру сигналов. М.: Советское…, 1972. 51-81 с.

8. Кодирование информации. Двоичные коды: Справочник / Под ред. Н.Т. Березнюка.: Высшая школа изд-во при Харьковском институте, 1978. 252 с.

9. Четверников В.Н. Преобразование и передача информации в АСУ. М.: Высшая школа, 1974, 200 с.

10. Берликэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971, 200 с.

11. Харькевич А.А. Спектры и анализ. М.: Энергия. 1962 – 210 с.

12. Электрические измерения неэлектрических величин // Под ред. П.В.Новицкого. Л.:Энергия, 1975 – 559 с.

Вариант Тема	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Квантование	1,20,23	3,6,8	2,4,27	5,10,14	7,15,16	9,11,28	12,18,29	19,21,30	17,24,25	13,22,26
Модуляция	1,11,23	2,9,21	7,8,26	4,5,30	3,10,24	12,16,22	13,18,25	15,19,27	14,20,29	17,27,28
Динамические погрешности	1,3,19	2,17,25	4,13,28	5,14,26	6,11,30	10,12,23	7,18,29	15,21,24	8,9,22	16,20,27
Помехоустойчивое Кодирование	1,31,32	2,19,34	3,18,35	4,6,36	5,28,40	7,21,37	8,23,38	9,24,29	10,16,20	11,26,39

Вариант Тема	XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI	XVII	XVIII	XIX	XX
Квантование	3,11,14	1,18,27	2,5,23	4,21,29	6,16,26	7,8,15	10,19,22	12,17,30	9,13,25	20,24,28
Модуляция	4,5,21	1,6,23	2,11,22	7,15,24	3,9,25	8,12,26	13,20,27	14,17,29	10,19,30	16,18,28
Динамические погрешности	2,18,30	1,28,29	3,20,24	15,19,23	6,17,21	4,12,25	8,10,14	7,10,26	5,11,27	9,13,22
Помехоустойчивое Кодирование	12,15,30	13,17,33	14,22,25	1,16,27	3,7,24	6,19,37	8,26,31	10,17,40	12,22,27	21,25,28

31