§6. Напряжение. Интегральные уравнения равновесия (и.У.Р.)

В курсе сопротивления материалов кроме понятия В.С.Ф. встречается понятие, называемое напряжением. Напряжение – это мера, характеризующая интенсивность распределения В.С.Ф. по сечению нагруженного бруса.

Покажем эту меру в рассматриваемом сечении некоторого бруса (рисунок 6.1).

А – элементарная площадь;

– элементарное внутреннее усилие, действующее по элементарной площади.

Отношение элементарного усилия к элементарной площади представляет собой среднее напряжение, действующее по элементарной площади.

(6.1)

Переходя к пределу, получим точное напряжение в точке данной элементарной площади:

(6.2)*

В расчетах удобнее использовать полное напряжение в виде проекций по осям координат. Для этого напряжение проецируют по трем главным центральным осям сечения. В итоге получают одну нормальную и две касательные составляющие (рисунок 6.2).

_z – нормальное напряжение, _zx и _zy – касательные напряжения.

Таким образом, полное напряжение можно представить следующей суммой:

Между тремя составляющими полного напряжения и шестью внутренними силовыми факторами существуют зависимости , для получения которых рассмотрим следующий рисунок (рисунок 6.3).

Учитывая, что брус находится в равновесии, можно составить следующие зависимости:

это элементарная продольная сила, тогда полная продольная сила найдется как сумма (или интеграл) вида:

Аналогично можно получить и остальные силовые факторы:

Система уравнений (6.4) называется интегральными уравнениями равновесия.

С помощью этой системы можно определить какой-либо фактор через одно из напряжений.

Для решения обратных задач (что требуется чаще), то есть для определения какого-либо напряжения через соответствующий внутренний силовой фактор, необходимо знать закон изменения искомого напряжения по сечению бруса. Для этого необходимо провести совместный анализ напряженного и деформированного состояния (Н.Д.С.)

§7. Деформации и перемещения. Деформированное состояние в точке (д.С.Т.)

Известно, что свойством любого тела является способность деформироваться, то есть изменять свою форму и размеры.

В курсе сопротивления материалов различают деформации упругие и классические, линейные и угловые, абсолютные и относительные. Кроме того, при деформировании тела в нем возникает перемещение, то есть происходит изменении местоположения точек по отношению к их исходному положению. Перемещения также могут быть линейными и угловыми.

Рассмотрим два отрезка ab и ac в плоскости XOY в реальном теле до и после его деформирования (рисунок 7.1).

dx, dy – длина отрезков ab и ac до деформации;

dx, dy – приращения отрезков ab и ac соответственно, то есть абсолютные линейные их (отрезков) деформации ( [м] ).

– абсолютная угловая деформация (угол сдвига в плоскости xy);

– линейные перемещения точек a, b и c соответственно;

 и  – условные перемещения.

Если провести аналогичные рассуждения, выбрав третью ось z, получим еще три составляющих деформации: _z, _xz, _yz. Тогда с применением шести составляющих деформации можно выполнить полное описание деформируемого состояния в точке.

Таким образом, совокупность трех линейных деформаций по направлениям и трех угловых деформаций по плоскостям, проходящим через данную точку, представляют собой деформированное состояние точки.

Под деформацией будет пониматься либо процесс изменения формы или размеров тела, либо какой-либо вид нагружения. В последнем случае различают следующие виды деформации: растяжение или сжатие, сдвиг или срез, кручение, изгиб, сложное сопротивление.

Первые четыре вида деформации называются простыми, а их сочетание представляет собой сложное сопротивление.

Для каждой деформации будет характерна своя совокупность составляющей деформации согласно системы (7.1).

В дальнейшем будем рассматривать по отдельности все названные виды деформаций.