21-25

21. Силовой критерий разрушения. Связь энергетического и силового критериев.

Критерий разрушения устанавли-вает величину усилия, при кото-ром трещина начинает распрост-раняться В этом случае величина нагрузки и длина трещины становятся взаимосвязанными. При этом нельзя изменить тре-щину не изменив нагрузку. Если разрез получает возможность распространяться быстро или медленно, то такое состояние тела называют предельным или критическим, при этом критерий разрушения удовлетворяется.

Общий вид критерия разрушения:

где - аналитическое выражение критериальной вели-чины через параметр внешней нагрузки р и длину l трещины, а F_C – эта же величина, но найден-ная из эксперимента в критичес-ком состоянии.

1957 г. Ирвин предположил, что начало роста трещины можно связать с достижением коэффи-циентом интенсивности напряже-ний К некоторого предельного значения. Такое предельное зна-чение коэффициента интенсив-ности напряжений .К получило название критического коэффи-циента интенсивности напряже-ний К_с, который стал в дальнейшем характеристикой трещиностойкости материала. Так был сформулирован сило-вой критерий разрушения Ирви-на. Соглас­но этому критерию, роста трещины не происходит, если К<К_С, а критическое условие имеет вид К = К_С.

Другими словами, соблюдение условия К = К_С в какой-либо точке контура означает наступление предельного состояния равнове-сия.

Задача о трещинах на основе критерия Ирвина решается сле-дующим образом. Вначале методами теории упругости находится асимптотичес­кое выражение для напряжений у конца трещины и устанавли-вается коэффициент интенсив-ности напряжений К. После этого, используя условие К = К_С, исследуют предельное равно­весие тела с трещиной.

Ирвин также показал эквива-лентность силового критерия раз­рушения и энергетического критерия Гриффитса.

Для идеально упругого тела при подрастании трещины на величину S соблюдается энер-гетическое условие Гриффитса, которое мож­но записать в виде (1)

где — величина поверхнос-тной энергии, требуемой для образования новой поверхности разрыва площадью .

В выражении (1) величина представляет со-бой приток энергии в вершину трещины, приходящийся на единицу площади тре­щины или, иначе, интенсивность освобождающейся упругой энергии. Энергия Г обеспечи-вает существование твердого тела как единого цело­го. При образовании новых поверхностей из начального разреза обычно считают, что энергия Г имеет поверхнос-тную природу, выражение для которой записывается в виде (2)

где -удельная поверхностная энергия, которая затрачивается на разрушение.

Сопоставив (1) и (2) запишем критерий Гриффитса в виде

где

- механическая характеристика трещинос-той-кости материала, отражающая его сопротивление росту тре-щины и называемая вязкостью разрушения. Получим для плоской деформации:

(3)

для плоского напряженного состояния:

(4)

Заметим, что в случае идеально упругого тела коэффициент интенсивности напряжений К не зависит от степени стеснения поперечной деформации вдоль фронта трещины, так как его величина определяет­ся через напряже-ния, независящие от вида плоской задачи. Следова­тельно, переход от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию в формулах (3) и (4) приводит к изменению G, но не К. Существенное различие между вязкостью разрушения К_с при плоской деформации и плоском напряженном состоянии обус-ловлено разны­ми размерами пластической зоны перед кромкой трещины.

Таким образом, для сужде-ния о начале распространения трещины имеем две эквивалентные формулировки критерия разрушения:

1). Энергетическая. Трещина начинает расти, если интенсив-ность освободившейся энергии G достигает критической величины .

2). Силовая. Трещина начинает расти, если коэффи-циент интенсивности напряже-ний К достигает критической величины К_с =const.

Из приведенного видно, что условия разрушения, заданные выше­приведенными зависи-мостями, являются эквивален-тными. В упругой постановке между этими критическими характеристиками материала существует следующая связь:

для плоской деформации

(3а)

для плоского напряженного состояния (4а)

Эти формулировки справедли-вы для идеально упругого разруше­ния, при у конца трещины в линеаризо-ванной постановке зада­чи теории упругости, и ими, по существу, исчерпывается собственно линейная механика разрушения.

Соотношения К = К_С , (3а) и (4а) Ирвина являются основны-ми в линейной механике раз-рушения. С их помощью про-водится как расчет предельно-го состояния элемента конст-рукции с трещиной, таки оценка механических свойств мате-риала, описывающих его спосо-бность тормозить рост трещины.

Когда - можно решать и по формулам линейной механики и по формулам нелинейном механики.

22. Линейная и нелинейная механика разрушения.

Линейная механика разруше-ния, описывает хрупкое разруше-ние, которое происходит в результате роста трещины при отсутствии заметных пластичес-ких деформаций у вершины трещины. Если понятие коэффициентов ин­тенсивности напряжений имеет физический смысл для данной зада­чи, то закономерности поведения тела с трещиной сводятся к операци­ям над ними. В этом случае справедливы асимптотические формулы для напряжений и деформаций, и задачу о распространении трещины доста-точно сформулировать в терминах коэффициентов интен-сивно­сти напряжений. В этом и состоит основная особенность линейной механики разруше-ния. С относительным ростом внешней нагрузки плас­тическая зона у вершины начинает расти и при не очень развитом пластическом течении можно область справедливости линей-ной ме­ханики разрушения расширить с помощью пласти-ческой поправки Ир­вина. Эта поправка приводит к лучшему соответствию эксперимен­таль-ных результатов с предсказан-ным расчетом, основывающимся на формулах линейной механики разрушения.

Если линейные размеры пластической зоны у вершины трещины начинают на 20% превышать длину трещины, то понятие коэффициента интенсив-ности утрачивает смысл, поско-льку область действия асимп-тотических формул перестает существовать. В этом случае фор­мулировка закономерностей разрушения тела с трещиной так или иначе связана со свойствами сопротивления материала плас-тическим дефор­мациям, и задача относится к нелинейной меха-нике разрушения. Все модели нелинейной механики разруше-ния исходят из наличия доста­точно развитой пластической зоны перед вершиной трещины. В нелинейной механике разру-шения допускается возможность медленного докритического под-растания трещины с увеличе-нием внешней нагрузки и из­менение размера пластической зоны в вершине трещины во время ее роста.

Разумеется, что существует некоторая промежуточная область, где оба вида механики разрушения в той или иной степени приближения могут быть использованы. Ориентировочная оценка границ этой области по напряжениям такова:

23. Модель тонкой пластической зоны.

Конфигурация пластической области у конца трещины зависит не только от сопротивления материала пластической дефор-мации и характера нагружения, но и от степени стеснения поперечной деформации. Если такое стеснение отсутствует, то получаем плоско напряженное состояние.

В трещине обычно выделяют две области: внутреннюю и концевую. К внутренней области относят противоположные берега трещины, от­стоящие далеко друг от друга, так что их взаимодействие пренебрежимо мало. При этом считают, что поверхность трещины свободна от на­пряжений, обусловленных взаимодействием противополож-ных берегов. Концевая область трещины (другое часто встре-чающееся название — зона пред-разрушения) длиной d примыкает к контуру трещины. В этой области противоположные берега подходят друг к другу, так что дей­ствующие между ними молекулярные (или атомарные) силы притяжения имеют значи-тельную интенсивность. Можно предполагать, что берега трещи-ны смыкаются плавно и напря-жения в конце трещины ко­нечны.

Модель трещины: а - трещина с пластической зоной, б - эквивалентная трещина, полученная из исходной.

Тонкая пластическая зона в начале была предложена в виде гипотезы, а позже из реше­ния упругопластической задачи было показано, что такой вид пласти­ческой зоны имеет место при плоском напряженном состоя-нии. В такой модели трещины силы притяжения трактуются как силы ослабленных межчастичных связей. Эти силы принимаются равными некоторой постоянной величине ₀, если расстояние между берегами трещины не превосходят некоторой величины _С, которая считается постоянной для данного материала. Обычно эту модель трещины называют _с - моделью.

Рассмотрим особенности одно-го из вариантов _с - модели тре-щины. Малая толщина пласти-ческой зоны позволяет сделать мысленный разрез перед концом трещины на длину пластической зоны и на полученных поверхностях приложить напря­жения ₀, которые представляют собой напряжения на границе упруго-пластической зоны и препятствуют раскрытию трещи-ны. Исходная трещина с пластической зоной и трещина с разрезом вместо пласти­ческой зоны показаны на рис. а. После проведения мысленного разреза задача может рассматриваться не как упругопластическая, а как упругая. При этом очевидны следующие основные положе-ния модели:

1). Если расстояние 2 между противоположными поверхнос-тями раз­реза не превышает некоторой величины _с, то к берегам разреза при­ложено напряжение ₀. Это напряжение притягивает берега один к другому и, следовательно, дейс-твует на материал растягива-ющим образом.

2). Если расстояние 2>_с, то между противоположными поверхностями трещины нет силового взаимодействия.

24. Плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Конфигурация пластической области у конца трещины зависит не только от сопротивления материала пластической дефор-мации и характера нагружения, но и от степени стеснения поперечной деформации. Если такое стеснение отсутствует, то получаем плоско напряженное состояние. В этом случае _max действует на площадках под углом 45 к лицевой поверхности образца и возникает местное утонение листа или шейки. Из кругов напряжения следует, что _max составляет половину рас-тягивающего напряжения (рис. 1). В случае объемного растяжения при плоской деформации нап-ряжение меньше _max, чем при плоском напряженном состоянии. Площадки наибольших касатель-ных напряжений и области, занятые пластическим сдвигом, показаны на рис.2 для случая растяжения плоского образца с одним боковым надрезом. Пластическая зона при­обретает форму слоя с толщиной, равной или превышающей толщину образца перед трещиной. При этом возникают утонение или боковая утяжка на лицевых поверхностях образца перед вершиной трещины. Разрушение происходит срезом по типу косого излома. Следовательно, задача представляется по существу трехмерной, плоскость трещины по­ворачивается и излом становится косым.

Рис.1. Круги напря­жений для разных напря­женных состояний перед концом трещины.

Рис.2. Схема действия напряжений (а) и пластическая деформация (б) при плос­ком напряженном состоянии

Рис.3. Косой излом и область повышенного повреж­дения материала при плоском напряженном состоянии

В области интенсивных сдвигов происходит разрыхление, пред-шествующее пластическому разделению. Повышенная поврежденность в области поверхности излома отражена на рис. 3 в виде пор.

Рассмотрим образец большой толщины. Большая толщина образца приводит к стеснению и даже полному запрещению деформации вдоль фронта трещины. Возникает объемное рас­тягивающее напряженное состояние, при котором величина максималь­ного касательного напряжения невелика (см. рис.1). Это в свою оче­редь, затрудняет протекание пластической дефор-мации, отодвигая по напряже-ниям область значительных пластических деформаций. Мо­жет оказаться, что сопротив-ление материала отрыву будет достигнуто ранее, чем ра­зовьется заметное пластическое течение и произойдет хрупкий скачок трещины или даже полное разрушение в хрупком состоянии. Если со­противление отрыву достаточно велико по сравнению с сопротивле­нием пластической деформации, то пластические сдвиги будут накап­ливаться в направлении действия _max по площадкам, направленным к плоскости трещины примерно под углом 45°, как представлено на рис.4. Пластическая зона, показанная на том же рисунке, будет стремить­ся приобрести форму петли или шарнира с утяжкой на свободной тыль­ной поверхности, противоположной фронту трещины.

Рис.4. Схема действия напряжений (а) и пластическая деформация (б) при плоской деформации.

Интенсивное пластическое повреждение материала проис-ходит в стороне от плоскости трещины, в области начальных сдвигов. Это по­казано на рис.5 в виде пор. Поверхность излома совпадает с исход­ной плоскостью разреза, однако в зависимости от условий испытания и состояния материала разрушение может быть как хрупким, так и пла­стическим.

Рис.5. Область повышенно­го пов-реждения материала на площадках максимального сдвига при плоской деформации.

25. Деформационный критерий разрушения.

Деформационный критерий разрушения – это состояние предельного равновесия, когда выполняется условие

В трещине обычно выделяют две области: внутреннюю и концевую. К внутренней области относят противоположные берега трещины, от­стоящие далеко друг от друга, так что их взаимодействие пренебрежимо мало. При этом считают, что поверхность трещины свободна от на­пряжений, обусловленных взаимодействием противополож-ных берегов. Концевая область трещины (другое часто встречающееся название — зона предразрушения) длиной d примыкает к контуру трещины. В этой области противоположные берега подходят друг к другу, так что дей­ствующие между ними молекулярные (или атомарные) силы притяжения имеют значительную интенсивность. Можно предполагать, что берега трещины смыкаются плавно и напряжения в конце трещины ко­нечны.

Модель трещины: а - трещина с пластической зоной, б - эквивалентная трещина, полученная из исходной.

Тонкая пластическая зона в начале была предложена в виде гипотезы, а позже из реше­ния упругопластической задачи было показано, что такой вид пласти­ческой зоны имеет место при плоском напряженном состоя-нии. В такой модели трещины силы притяжения трактуются как силы ослабленных межчастичных связей. Эти силы принимаются равными некоторой постоянной величине ₀, если расстояние между берегами трещины не превосходят некоторой величины _С, которая считается постоянной для данного материала. Обычно эту модель трещины называют _с - моделью.

Рассмотрим особенности одного из вариантов _с - модели трещины. Малая толщина пластической зоны позволяет сделать мысленный разрез перед концом трещины на длину пластической зоны и на полученных поверхностях прило-жить напря­жения ₀, которые представляют собой напряжения на границе упруго-пластической зоны и препятствуют раскрытию трещины. Исходная трещина с пластической зоной и трещина с разрезом вместо пласти­ческой зоны показаны на рис. а. После проведения мысленного разреза задача может рассматриваться не как упругопластическая, а как упругая. При этом очевидны следующие основные положе-ния модели:

1). Если расстояние 2 между противоположными поверхнос-тями раз­реза не превышает некоторой величины _с, то к берегам разреза при­ложено напряжение ₀. Это напряжение притягивает берега один к другому и, следовательно, дейст-вует на материал растягивающим образом.

2). Если расстояние 2>_с, то между противоположными поверхностями трещины нет силового взаимодействия.

Напряжение ₀ может быть как постоянным, так и переменным, и назначается из независимых соображений. В частности, оно может отождествляться с пре-делом текучести _т или пре-делом прочности гладких образцов _В. Исходя из экспериментальных данных усло­вие ₀=_В является более предпочтительным. Длина плас-тической зоны d определяется из условия плавности смыкания границ дополни­тельного разреза в его конце при х=а. Это условие эквивалентно усло­вию непре-рывности напряжений в этой же точке. Критерий разруше­ния, который может быть назван деформационным, в данном случае записывается в виде

(1)

т. е., когда скачок перемещений в конце трещины или корне пластичес­кой зоны достигает предельного значения, трещина получает возмож­ность распрост-раняться. Соблюдение этого условия означает наступление предельного состояния равнове-сия тела с трещиной. Из условия (1) находят критическую нагрузку при данной длине трещины 2l. В условие (1) входит нормальная к линии трещины составляющая вектора смещения. Величина _с считается постоянной материала и оп­ределяется на основании экспериментов. Она называется критичес­ким раскрытием тре-щины в вершине или просто разрушающим смещением.

Эта теория может быть использована для описания расщепления атомных плоскостей и для трещин находящихся в пластически де­формируемом теле. В математическом отношении оба случая эквива­лентны.