8. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение с помощью обратной матрицы.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных. Решение системы линейных уравнений называется совокупность n-чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется несовместной, если у нее нет ни одного решения, и совместной, если хотя бы 1. Если у совместной только 1 решение, то ее называют определенной, если больше одного решения-неопределенной. Если не существуют такие постоянные, одно из которых отлично от нуля и сумма произведений этих постоянных на элементы этих уравнений равна 0, то уравнения системы называют линейно-независимыми. Если существуют такие постоянные, то линейно независимые.

Системы уравнений называют эквивалентными, если решения одной являются решениями другой. Если конечное число раз от произвольных уравнений системы отнимать любые другие ее уравнения, умноженное на постоянные величины, то получится система эквивалентная первоначальной.

Система однородна, если все свободные члены =0. Если система число уравнений равно числу переменных и определитель матрицы =0, то система имеет только нулевое решение. Ненулевое решение она имеет тогда и только тогда, когда ранг матрица меньше числа переменных (зависимое уравнение). Свойства решения системы однородных уравнений: если строка решение, то строка*число, так же является решением этой системы; если строки 1 и 2 решение, то при любых числах 1 и 2 их линейная комбинация число1*строку1+ число2*строку2, так же решение системы. Система линейно-независимых решений строка1, строка2,..,строкапоследняя называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений строка1, строка2...последняястрока. Если ранг матрицы меньше числа переменных, то всякая фундаментальная система решений состоит из число переменных-ранг матрицы решений.

Метод обратной матрицы: находим определитель, он ≠0, т.е. существует обратная матрица. Обратную матрицу умножаем на столбец свободных членов.

9. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных. Решение системы линейных уравнений называется совокупность n-чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется несовместной, если у нее нет ни одного решения, и совместной, если хотя бы 1. Если у совместной только 1 решение, то ее называют определенной, если больше одного решения-неопределенной. Если не существуют такие постоянные, одно из которых отлично от нуля и сумма произведений этих постоянных на элементы этих уравнений равна 0, то уравнения системы называют линейно-независимыми. Если существуют такие постоянные, то линейно независимые.

Системы уравнений называют эквивалентными, если решения одной являются решениями другой. Если конечное число раз от произвольных уравнений системы отнимать любые другие ее уравнения, умноженное на постоянные величины, то получится система эквивалентная первоначальной.

Система однородна, если все свободные члены =0. Если система число уравнений равно числу переменных и определитель матрицы =0, то система имеет только нулевое решение. Ненулевое решение она имеет тогда и только тогда, когда ранг матрица меньше числа переменных (зависимое уравнение). Свойства решения системы однородных уравнений: если строка решение, то строка*число, так же является решением этой системы; если строки 1 и 2 решение, то при любых числах 1 и 2 их линейная комбинация число1*строку1+ число2*строку2, так же решение системы. Система линейно-независимых решений строка1, строка2,..,строкапоследняя называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений строка1, строка2...последняястрока. Если ранг матрицы меньше числа переменных, то всякая фундаментальная система решений состоит из число переменных-ранг матрицы решений.

Метод Гаусса представляет собой последовательное исключение переменных с помощью элементарных преобразований. С их помощью приводим систему к экваивалентной системе ступенчатого вида, из которой, начиная с последних переменных находятся все остальные переменные. Преобразования проводят с расширенной матрицей. После отбрасывания лишних уравнений: а)число уравнений = равно числу переменных(системы имеет треугольный вил) б)число уравнений меньше, чем число переменных(система имеет ступенчатый вид).