4. Обратная матрица. Алгоритм вычисления.

Матрица А^-1 является обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица. Она существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы ≠0. Матрица называется присоединенной к матрице, если ее элементы являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы. , (А*В)^-1=В^-1*А^-1.

Алгоритм:

• Находим определитель матрицы(если он =0, то матрица вырожденная, и обратной не существует).

• Находим транспонированную матрицу.

• Находим алгебраические дополнения транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную.

• Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг меньше, чем число строк или столбцов матрицы, равен 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая. Ранг квадратной матрицы n-го порядка =n тогда и только тогда, когда определитель матрицы ≠0. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях. С их помощью приводим матрицу к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования:

отбрасывание нулевой строки/столбца

умножение всех элементов строки/столбца матрицы на число, не равное 0

изменение порядка строк/столбцов матрицы

прибавление к каждому элементу одной строки/столбца соответствующие элементы другой строки/столбца, умножение на любое число

транспонирование матрицы.

6. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема Кронекера–Капелли.

Две строки/столбца матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.

Строки матрицы называются линейно-зависимыми, если существуют такие числа, не равные одновременно 0, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке. Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна из строк матрицы является линейной комбинацией остальных. Если линейная комбинация строк равна 0, когда все элементы строки равны 0, то строки называются линейно-независимыми. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно-независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки/столбцы.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу расширенной матрицы этой системы. Для совместных систем верны следующие теоремы: ранг матрицы равен числу переменных, то система имеет одно единственное решение; ранг матрицы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Базисное решение системы-решение, в котором все n-r неосновных переменных =0. Совместная система уравнений(m) с переменными(n) (m<n) имеет бесконечное число решений, среди которых базисных решений конечное число не превосходящее

7. Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только первой степени и не содержит произведений переменных. Решение системы линейных уравнений называется совокупность n-чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется несовместной, если у нее нет ни одного решения, и совместной, если хотя бы 1. Если у совместной только 1 решение, то ее называют определенной, если больше одного решения-неопределенной. Если не существуют такие постоянные, одно из которых отлично от нуля и сумма произведений этих постоянных на элементы этих уравнений равна 0, то уравнения системы называют линейно-независимыми. Если существуют такие постоянные, то линейно независимые.

Системы уравнений называют эквивалентными, если решения одной являются решениями другой. Если конечное число раз от произвольных уравнений системы отнимать любые другие ее уравнения, умноженное на постоянные величины, то получится система эквивалентная первоначальной.

Система однородна, если все свободные члены =0. Если система число уравнений равно числу переменных и определитель матрицы =0, то система имеет только нулевое решение. Ненулевое решение она имеет тогда и только тогда, когда ранг матрица меньше числа переменных (зависимое уравнение). Свойства решения системы однородных уравнений: если строка решение, то строка*число, так же является решением этой системы; если строки 1 и 2 решение, то при любых числах 1 и 2 их линейная комбинация число1*строку1+ число2*строку2, так же решение системы. Система линейно-независимых решений строка1, строка2,..,строкапоследняя называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений строка1, строка2...последняястрока. Если ранг матрицы меньше числа переменных, то всякая фундаментальная система решений состоит из число переменных-ранг матрицы решений.

Теорема Крамера: Пусть дельта-определитель матрицы, а дельта j-ое – определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой j-ого столбца столбцом свободных членов. Тогда, если дельта ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле: