- •Вопросы к экзамену по дисциплине «алгебра и геометрия»
- •Обратная матрица. Алгоритм вычисления.
- •Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема Кронекера–Капелли.
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Решение с помощью обратной матрицы.
- •Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
- •Векторы и простейшие действия над ними.
- •Базис в пространстве, на плоскости и на прямой. Компонента (составляющая) вектора по (вдоль) оси. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора. Теоремы о векторах.
- •Системы координат: декартова, декартова прямоугольная, полярная.
- •Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
- •Прямая на плоскости: параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •Прямая на плоскости: общее уравнение, уравнение в отрезках, векторное уравнение.
- •Гипербола.
- •Общее уравнение линии второго порядка. Определение положения канонической системы координат.
- •Плоскость: общее уравнение, параметрические уравнения, векторное уравнение, уравнение в отрезках.
- •Поверхности вращения. Алгебраическая поверхность.
- •Поверхности второго порядка. Эллипсоиды. Гиперболоиды.
- •Поверхности второго порядка. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
Вопросы к экзамену по дисциплине «алгебра и геометрия»
Определители. Вычисление определителей порядка n ≤ 3. Свойства определителей.
Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и представляющее собой алгебраическую сумму n! членов, каждый из которых является произведением n-элементов взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в него элементами.
Определитель матрицы первого порядка |A|=a11.
Определитель матрицы второго порядка |A|=a11*a22-a21*a12.
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по формуле, которую легко запомнить с помощью правила треугольников.
Свойства определителей:
Если какая-нибудь строка/столбец матрицы состоит из одних нулей, то определитель =0.
Если все элементы какой-либо строки/столбца матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.
Определитель транспонированной матрицы = определитель матрицы.
При перестановке 2-х строк/столбцов матрицы ее определитель меняет знак.
Если квадратная матрица содержит 2 одинаковые строки/столбца, то ее определитель =0.
Если элементы 2-х строк/столбцов пропорциональны, то ее определитель =0.
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавит элементы другой строки.
Определитель произведения 2-х матриц равен произведению определителей 2-х матриц.
Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Минором Mij элемента Аij матрицы А n-ого порядка называется определитель матрицы n-1 порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Алгебраическое дополнение элемента аij матрица А n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.
Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы n-ого порядка = сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Матрицы. Основные операции над матрицами.
Матрица m×n-прямоугольная таблица, содержащая m-строк и n-столбцов. Заполнена числами-элементами матрицы. Матрицы одного размера-равные. Из одной строки/столбца-вектором-строкой/столбцом. Квадратная матрица-m=n. Элементы матрицы, у которых i=j- диагональные, образуют главную диагональ. Диагональная матрица-все элементы, кроме диагональных =0. Единичная матрица- диагональная матрицы, у которой диагональные элементы =1. Нулевая матрица- все элементы =0.
Матрица * число = каждый элемент матрицы умножить на это число. Общий множитель матрицы можно выносить за знак матрицы.
Матрица1+матрица2(матрицы одинакового размера)=элемент ij1+элементij2.
Матрица1-матрица2=матрица1+матрица2*(-1).
Матрица1*матрица2(число столбцов 1=число строк 2)=сумме произведений i-той строки матрицы1 на соответствующие элементы j-того столбца матрицы2. Переместительный закон не выполняется.
Целой положительной степенью Аm квадратной матрицы называется произведение m матриц равных А.
Транспонирование матриц-переход от матрицы1 к матрице2, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.