Полная механическая энергия
Механическое состояние объекта характеризуется двумя параметрами – радиус-векторами материальных точек, из которых он состоит, и их скоростями (импульсами).
Поэтому полная механическая энергия объекта является функцией координат и скоростей материальных точек.
Часть полной энергии, которая определяется скоростями точек объекта, принято называть кинетической энергией.
Часть полной энергии, которая зависит от их координат принято называть потенциальной энергией.
Полная механическая энергия равна сумме кинетической энергии взаимодействия частей тела и потенциальной энергии взаимодействия тела с внешними телами.
E EK En
4.4. Кинетическая энергия и её связь с работой
Пусть на материальную точку с массой m действует сила F .
Найдем работу этой силы за время, в течение которого модуль скорости точки изменяется от v1 до v2.
Элементарная работа силы F равна
A F dr
Преобразуем это выражение:
|
|
|
|
|
|
|
dA F dr |
m (a |
dr) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
||||
m |
dt |
dr |
m (v |
dv) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Найдем скалярное произведение вектора скорости v на его приращение dv .
v dv v dv cos α ,
где α – угол между векторами v и dv .
Поскольку угол между векторами v и dv равен 00,
то |
|
. |
v dv v dv |
Тогда элементарная работа запишется как
dA m v dv
Полная работа, совершаемая силой F при изменении
скорости точки от v1 до v2, равна интегралу: |
|
|
||
|
или |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
v2 |
|
|||
A dA m v dv |
|
A mv2 |
mv1 |
|
v1 |
|
2 |
|
2 |
.
Получили, что работа силы:
1) не зависит от формы пути перехода материальной точки из начального состояния со скоростью v1 к конечному состоянию со скоростью v2;
2)не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное изменение скорости;
3)не зависит от того, каковы были промежуточные состояния:
а) быстро или медленно изменялась скорость,
б) постоянная или переменная сила действовала на точку,
в) по прямолинейной или криволинейной траектории она перемещалась.
|
mv2 |
|
mv2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
Величина |
2 |
|
2 |
есть приращение |
|
|
|
некоторой функции ЕК механического состояния точки, зависящей от скорости.
A |
mv2 |
|
mv2 |
|
(v |
) E |
(v ) |
2 |
1 E |
K |
|||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
K 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия определяется формулой:
E K |
mv2 |
|
2 |
||
|
Изменение кинетической энергии равно работе силы:
ΔΕK A
Кинетическая энергия при поступательном движении
Кинетическая энергия:
-функция механического состояния;
-зависит от массы материальной точки и квадрата её
скорости. |
|
|
ЕК |
|
|
mv2 |
ЕК |
|
|
EK |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m |
V |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Изменение кинетической энергии равно работе любых (внутренних и внешних, консервативных и
неконсервативных) сил: |
ΔΕК Aлюбых сил |
|
Кинетическая энергия при вращательном |
движении |
Найдем работу, совершаемую внешней силой при |
повороте твердого тела на некоторый угол вокруг |
неподвижной оси. |
d |
d |
r |