Решение

Так как силовые линии магнитного поля замкнуты, то магнитный поток и индукция магнитного поля в сердечнике и в воздушном зазоре одинаковы: В₁=В₂. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора (т.к. циркуляция определяется только макротоками и не зависит от наличия или отсутствия магнетика). Выберем замкнутый контур вдоль силовой линии и вычислим циркуляцию вектора напряжённости:

,

где Н₁ и Н₂ - напряжённости магнитного поля в сердечнике и вне его; l₁ и l₂ – длина железного сердечника и межполюсного пространства.

Так как H₂ = B₂/₀ = B₁/₀, то

H₁l₁ + B₁l₂/₀ = NI. (1)

Поскольку величина В₁ известна по условию задачи, то величину Н₁ найдём из графика зависимости В = В(H) (прил. 1):

при В = 1,3 Тл, Н = 800 А/м.

Из уравнения (1) определим число ампер-витков электромагнита:

(NI) = 8000,4 + 1,30,01/(43,1410^–7) = 1,0710⁴ А-вит.

Величину ЭДС  вычислим по закону Ома:

 = IR_пров = Il _пров/S = IDN / S = IDN / S.

Подставим числовые значения:

 = 1,710^–83,140,051,0710⁴/10^–6 = 29 В.

Для определения толщины обмотки нужно знать общее число витков N и число витков N₁ в одном слое обмотки.

N₁ = l₁/d,

где l₁ – длина сердечника; d – диаметр провода обмотки: d = , тогда

N₁ = l₁/ = 0.4 / = 354 витка .

Зная число ампер–витков и предельно допустимое значение силы тока (I=jS), определим общее число витков N

N = (NI)/(jS) = 1,0710 ⁴ / (310⁶10^–6) = 3567 витков.

Число слоёв

k = N/N₁ = 3567/354  10.

Тогда толщина обмотки

b = dk = k = 10 = 11,310 ^-3 м  11 мм.

5. Квадратная рамка с током I=1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником с током I₀=5 А. Сторона рамки 10 см. Ось рамки, проходящая через середины противоположных сторон, параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в n = 1,5 раза больше стороны рамки. Найти:

1. силу, действующую на рамку;

2. работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.

Решение

1. Прямой длинный проводник с током I₀ создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B₀=₀I_o/2r, которая уменьшается с увеличением расстояния от проводника. В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки, а величину - по формуле F_A=IB₀lsin .

Как видно из рисунка (при указанных направлениях силы тока в проводниках), l=a, =90 (sin  =1), силы и противоположны по направлению и равны по величине

.

Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю. Силы и противоположны по направлению, но не равны по величине:

F₁ = I₀I₀a /2a = ₀I₀I /2.

F₃ = I₀Ia /22a = ₀I₀I /4.

Так как сила F₁ в два раза больше силы F₃, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F₁, а по величине

F = F₁ – F₃ = ₀I₀I /2 – ₀I₀I /4 = ₀I₀I /4.

Подставим числовые значения

F = 410^–715/4 = 510^–7 Н = 0,5 мкН.

2. Работу, необходимую для поворота рамки с током I на 180, можно определить по формуле

А = IФ_m = I(Ф_2m – Ф_1m),

где Ф_1m и Ф_2m  магнитные потоки через поверхность рамки в начальном и конечном состояниях. Так как магнитное поле проводника с током I₀ неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS=adr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной:

dФ_m = B₀dS cos ,

а полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях

.

.

Так как ₁ = 0, ₂ = 180, (cos₁ = 1, cos₂ = –1), то

Ф_m = Ф_2m – Ф_1m = – ₀aI₀ (ln 2)/2 – ₀aI₀ (ln 2)/2 = –₀aI₀ (ln 2)/.

Работа

А = IФ_m = –₀aI₀I (ln 2)/.

Подставим числовые значения:

А = –40,1150,6910^–7/  –1,410^–7 Дж = –0,14 мкДж .

6. Тонкий металлический стержень длиной l = 1,2 м вращается в однородном магнитном поле вокруг перпендикулярной к стержню оси, отстоящей от одного из его концов на расстоянии а=0,25 м, делая n=120 об/мин. Вектор магнитной индукции поля параллелен оси вращения и имеет величину В=10^–3 Тл. Найти разность потенциалов U, возникающую между концами стержня.