1.2 Принцип суперпозиции полей

Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданному распределению в пространстве источников поля  электрических зарядов  найти значение вектора напряжённости во всех точках поля. Эта задача может быть решена на основе принципа суперпозиции электрических полей.

Напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности.

Заряды могут быть распределены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. В первом случае напряжённость поля для системы точечных зарядов

,

где  напряжённость поля i-го заряда системы в рассматриваемой точке пространства, n  общее число дискретных зарядов системы.

Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов , Кл/м.

 = (dq/dl),

где dq  заряд малого участка длиной dl.

Если электрические заряды непрерывно распределены по поверхности, то вводится поверхностная плотность зарядов , Кл/м².

 = (dq/dS),

где dq  заряд, расположенный на малом участке поверхности площадью dS.

При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объёме вводится объёмная плотность зарядов , Кл/м³.

 = (dq/dV),

где dq  заряд, находящийся в малом элементе объёма dV.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме непрерывно распределёнными зарядами:

,

где  напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме малым зарядом dq, а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым зарядам.

Рассмотрим применение принципа суперпозиции к электрическому диполю.

Электрическим диполем называется система из двух равных по абсолютной величине и противоположных по знаку электрических зарядов (q и –q), расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Вектор , направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя. Вектор называется электрическим моментом диполя (дипольным электрическим моментом). Напряжённость поля диполя в произвольной точке , где и - напряжённости полей зарядов q и -q (рис. 1.2).

В точке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центра (r>>l), напряжённость поля диполя в вакууме:

.

В точке В, расположенной на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, на расстоянии r от центра (r>>l):

.

В произвольной точке С модуль вектора напряженности

,

где r  величина радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке С;   угол между радиусом-вектором и дипольным моментом (рис. 1.2).

1.3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Элементарным потоком напряжённости электрического поля сквозь малый участок площадью dS поверхности, проведённой в поле, называется скалярная физическая величина

dN = = EdScos( ) = E_ndS = EdS_,

где — вектор напряжённости электрического поля на площадке dS,  единичный вектор, нормальный к площадке dS,  вектор площадки, Е_n = Ecos( )  проекция вектора на направление вектора , dS_ = dScos( )  площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 1.3).

Теорема Гаусса

Поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью:

,

где все векторы направлены вдоль внешних нормалей к замкнутой поверхности интегрирования S, которую часто называют гауссовой поверхностью.