Решение

Чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:

j = E,

где j – плотность тока; E – вектор напряженности электрического поля;  – электропроводность вещества проводника, равная 1/.

Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике определяется соотношением:

E = j /  = j. (1)

Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.

Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику

j = I / S. (2)

Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:

I =  / (R + r), (3)

где r – внутреннее сопротивление источника; R - сопротивление проводника.

Для R справедливо соотношение:

R = l/S. (4)

Объединяя формулы (1) - (4), окончательно запишем

E = j = I / S =  / (R + r)S =  / (l / S + r)S. (5)

Подстановка в (5) численных данных позволяет написать ответ

Е = 0,4 В/м.

7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l₁ = l₂ = 10 м), но разного диаметра (d₁ = 2d₂), равно 10 В. Найти удельную тепловую мощность тока во втором куске проволоки. Удельное сопротивление меди   = 17 нОм·м.

Решение

Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности)

w = E ² = E² = j ².

Поэтому, чтобы найти w₂, необходимо определить две величины: количество теплоты Q₂ , которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени, и объем этого проводника.

Количество теплоты Q₂ можно найти, если учесть, что ток в проводниках один и тот же, а сопротивления проводников отличаются в 4 раза.

.

Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,

,

где Q₁ – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.

Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике, рассчитывается по формуле

, (1)

где U – падение напряжения в проводнике.

Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени,

. (2)

В уравнении (2) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R₂ нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением

,

то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления

. (3)

Подставляя в соотношение (3) численные данные, получаем ответ

w ₂ = 3,7610 ⁷ Вт/м³.

8. Заряд сферического конденсатора из-за того, что через диэлектрическую прокладку протекает ток, уменьшается за время  в n раз. Найти удельное сопротивление  прокладки, если ее диэлектрическая проницаемость равна .

Решение

Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти, просуммировав сопротивления сферических слоев толщиной dr, граничащих друг с другом:

, (1)

где a,b – радиусы соответственно внутренней и внешней обкладок сферического конденсатора; ₀ – электрическая постоянная; C – емкость сферического конденсатора находится по формуле

.

Из уравнения (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:

. (2)

Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:

, (3)

где I – ток утечки. Знак «-» в (3) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.

По закону Ома

, (4)

где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора,

, (5)

где q – заряд конденсатора.

Объединяя формулы (3) – (5), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:

.

После интегрирования получаем

, (6)

где q₁ – начальный заряд конденсатора; q₂ – конечный.

Подставляя CR из (6) в (2), окончательно имеем

.