В) Деякі задачі, що приводять до поняття показникової функції

Спочатку розглянемо конкретні приклади функціональних залежностей, які ілюструють використання показникової функції для опису різних явищ природи.

Задача. Державні ощадкаси нараховують вкладникам по 9% за термін вкладання. Вкладник 1.01.98р. поклав у ощадкасу 500 гривень. Яку суму становитиме його вклад через 10 років ?

Розв’язання

Розв’яжемо цю задачу у загальному вигляді. Нехай вклад на 1.01.98 становить а гривень, тоді 1.01.1999р. каса нараховує 9%=0,009 від суми а гривень і його вклад становитиме (а+0,09а) гривень або 1,09а гривень.

На 1.01.2000р. гривень. Міркуючи так і дальше, знайдемо, що розміри вкладів утворюють геометричну прогресію , , , ….. із знаменником .

Через повних років вклад становить

Наведемо конкретні приклади функціональних залежностей (про зміну атмосферного тиску)

Приклад 1

Атмосферний тиск зміниться в залежності від висоти над рівнем моря за законом , де - атмосферний тиск на рівні моря (7600), а – деяка стала.

Приклад 2

Дерево росте так, що кількість деревини збільшується з часом за законом , де М- кількість деревини у даний момент, ( ).

М – початкова кількість деревини, - час (у роках ), який відлічують з моменту , - деяка стала. За скільки років об’єм деревини збільшиться в разів ?

Розв’язання

Якщо в даний момент , то поділивши обидві частини рівняння на дістанемо , , ,

Об’єм деревини збільшиться в а разів через років.

Приклад 3

Розмноження бактерій у певному середовищі відбуваються так, що їх число змінюється з часом за законом , де - початкове число бактерій при , і - деякі сталі.

У наведених прикладах для обчислення кожного значення функції певне число а, одне і те саме на протязі всього процесу доводиться підносити до деякого степеня. Найпростішим випадком цієї залежності є функція , де а – додатне дійсне число, х – залежна змінна, що набуває будь-яких дійсних значень. Очевидно, вона має свою назву. Оскільки показником є змінна величина, то функція називається показниковою.

1. При , а х – раціональне, знаменник, якого парне число, вираз не має смислу.

Наприклад: , у множинах дійсних чисел не має смислу.

2. , , степінь існує.

Але при , , степінь - не має смислу.

Наприклад: ;

3. При , степінь або , така функція існує, відноситься до лінійних. Вона є сталою і не становить інтересу. Тому значення виключають у розгляду.

Таким чином, формулюємо означення показникової функції. Функція , яку можна задати рівністю , де , , називається показниковою.

Г) Властивості показникової функції

У шкільній практиці існує 2 підходи до вивчення властивостей показникової функції.

1. Спочатку доводять аналітично всі властивості, а потім розглядається функція при конкретному значенні а і будується графік. Такий підхід був обраний у підручнику алгебри Кисельова. Він виявився важким для сприймання учнями, тобто це є дедуктивний метод.

2. За точками ( за допомогою заздалегідь складеної на дошці таблиці, або фабричної) , будуються графіки певних показникових функцій.

Наприклад: ; ; ; і за графіком з’ясовують властивості функції при та , а потім ці властивості доводять аналітично. Такий підхід прийнятий у більшості підручників та посібників у тому числі і діючому підручнику з алгебри та початків аналізу. Учитель вказує, що при вивченні властивостей показникової функції заслуговують на увагу два істотних випадки:

1. Основа а є неправильним дробом тобто

2. Основа а – правильний дріб

При цьому підкреслюється уже відоме твердження.

1. Додатний степінь неправильного дробу більший від 1;

Наприклад .

Від’ємний степінь неправильного дробу менший від 1

Далі будуємо графік функції .

	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
	0,125	0,177	0,25	0,354	0,5	0,707	1	1,414	2	2,828	4

Складаємо таблицю значень аргументу і відповідних значень функцій:

	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3
					1	2	4	8

Будуємо графіки, сполучаємо плавною лінією.

Розглянемо функцію . Складаємо аналогічно таблицю:

	-3	-2	-1	0	1	2	3
				1	3	9	27

Будуємо графік функції

	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	16	8	4	2	1

Розглядаючи графіки функцій вияснимо, що спільного у графіків функцій і

1. Область визначення обох функцій є

2. Обидві функції додатні при будь-якому х.

При х=0 обидві функції набувають значень, що дорівнює 1.

Далі будуємо графік функцій і в одній системі координат і порівнюємо їх властивості:

1. Графіки розміщені симетрично відносно осі ординат.

2. - зростає, - спадає.

3. При набуває значень

при , а при .

Властивості функції при і при суттєво відрізняються.

Тому спочатку розглянемо загальні властивості показникової функції, а потім окремо для і .

1. Область визначення є множина , бо при , вираз - визначений для будь-якого .

2.Показникова функція при будь-якому додатна, тобто . Справді може дорівнювати нулю лише тоді, коли . Але ми домовляємося, що .

Функція може бути від’ємною лише при ( ). Але ми домовимося розглядати показникові функцію лише при . А при піднесенні додатного числа до степеня , де завжди матимемо додатне число. Щоб переконатися в цьому розглянемо чотири випадки:

а ) Нехай , де . Тоді

як добуток додатних чисел.

б )Якщо х – раціональне додатне число, тобто , де - нескоротний дріб і , то .

Але ( умова існування кореня - го степеня, або значення степеня з додатним раціональним показником, тому .

в) Нехай – додатне ірраціональне додатне число. Позначимо через і наближені (раціональні додатні значення з недостачею і надлишком. Тоді значення міститься між двома додатними числами і , , отже .

г ) Якщо х – деяке від’ємне число:

наприклад: , то . Але у пункті показано, що при будь-якому додатному раціональному . Отже, , а значить , отже, графік показникової функції завжди лежить над віссю абсцис і не перетинає її ( ).

3⁰. При х = 0 показникова функція . Це випливає з того, що будь-яке число відмінне від нуля у нульовому степені дорівнює одиниці. А ми домовимося розглядати функцію для . Звідси висновок, що графік функції проходить через точку (0; 1) тобто перетворює вісь ординат на відстані одиниці від початку координат.

Ці три властивості спільні для будь-яких показникових функцій.

4⁰. При , , якщо і

, якщо ;

При , , якщо

, якщо .

Доведення

1. Доведемо цю властивість для .

а) Якщо , , тоді

б) Якщо ( і ) , тоді

За доведеним вище ;

Тоді , тобто , а значить .

в) – ірраціональне додатне число.

За означенням степеня з додатного ірраціонального показника при маємо , , а значить .

г) Якщо – будь-яке від’ємне дійсне число.

Нехай , де . бо за доведенням .

5⁰. При функція монотонно зростає, - монотонно спадає.

Доведення

1) . Візьмемо два значення і при чому .

Доведемо, що

Порівняємо і для цього застосовуємо різницю .

а) За властивістю 1^{0 .}

б) За умови тому , а значить за властивістю 2⁰.

Отже, , а значить добуток тобто

Проектуємо на екран малюнок на якому зображені графіки показникової функцій при різних параметрах

Зауважимо, що для всіх функцій графіки яких зображено на малюнку є спільні властивості.

1)

2)

3)

д) Вправи для закріплення властивостей показникової функції

1. Якщо графіки функцій і симетричні відносно осі ординат, то яке співвідношення існує між і ?

2. Чи мають спільну точку графіки і ?

3. у якій точці перетинаються графік функції з віссю ординат?

4. Які процеси в галузі техніки та природознавства виражають за допомогою показникової функції ?

5. Які з функції ; ; ; ; – є показниковими.?

6. За яких умов ; ?

7. Яка особливість розміщення графіків функцій ; ; ; ?

8. Відомо, що . Що більше чи при ?

9. Порівняйте і , якщо відомо, що і .

10. Чи правильно є нерівність при ?

11. Які з показникових функцій ; ; ; - зростають ?

12. У якій точці перетинає графік функції ?

13. Яке значення коефіцієнта функції , якщо її графік перетинає вісь ординат у точці (0; 3) ?

14. Яких значень ( від’ємних чи додатніх ) набуває функція ; ?

15. Чи пройдуть через одну точку графіки ; ; ?

16. Знайти область визначення функцій :

; ; .

17. Вкажіть множину значень функцій :

; ; ;

; ; .

18. Які із заданих степенів : а) більші одиниці; б) менші одиниці; в) рівні одиниці:

19. Порівняйте числа і , якщо:

; ; ; і 1;

; ; .

20. Зробіть висновки відносно “а”, якщо:

; ; ;

; ;

; ;

21. Що можна сказати про знак числа :

; ; ; ; .

22. Що можна сказати про числа і , якщо

? ; ?

23. Що можна сказати про числа і , якщо

?

24. Що можна сказати про додатну основу , якщо

?

25. Який висновок можна зробити відносно додатної основи , якщо

?

?

26. Який висновок можна зробити про додатну основу , якщо

?

27. Що можна сказати про число , якщо

, ( - зростає )

28. На основі властивостей показникової функції змінити знак знаком або або =

а) ; б) ; в) ; г)

29. Вказати, які показникові функції ; ; ; ; зростають ? спадають ?

30. Дано показникові функцію: ; ; ; ; ; .

Записати їх у порядку зменшення швидкостей зростання при .