5. Методика введення степеня з ірраціональним показником.

П р о п о н у є м о у ч н я м:

Обчислити значення виразів:

а) ; б) ; в) , де – ірраціональне число.

Виникає потреба ввести означення степеня з ірраціональним показником , де - ірраціональне число.

Воно вимагає нової конструкції. При цьому бажано степінь з ірраціональним показником означити так, щоб зберегти всі відомі властивості степеня з раціональним показником. Така спадковість уже мала місце при переході від натурального показника до раціонального. Проведемо деякі міркування.

Розглянемо степінь , де - ірраціональне число, для якого існують дві послідовності раціональних чисел і взяті з недостачею і надлишком.

: 1; 1,4; 1,41; 1,414; ……

: 2; 1,5; 1,42; 1,415;…..

Тобто число запишемо:

…………………..

Утворимо нові послідовності відповідних значенню степеня числа 3.

; ; ; …..

; ; ;……..

За властивостями степеня з раціональним показником випливає, що:

а) ; б) ; в) ,

де =0, 1, 2, …..

можна довести, що існує єдине число, яке при будь-якому = 0, 1, 2, 3... більше і менше . Це число . Існування такого числа можна показати геометрично:

Аналогічно міркують і для чисел , яке більше і менше при = 0, 1, 2...

Таким чином, степінь числа , з показником означається так:

1. Якщо , то - степінь з цілим показником.

2. Якщо , то - степінь з раціональним показником.

3. Якщо , то:

а) при , число - означає таке число, яке більше і менше ( =0, 2, 3, ….)

б) при ; ( =0, 1, 2, ….)

в) при ;

4. Якщо , то

Наприклад, .

Існування і єдність числа доводиться у курсі математичного аналізу. Властивості степеня з ірраціональним показником приймаються без доведення.

Дії над степенями з ірраціональним показниками виконуються за зразками (правилами), які встановлено для степенів з раціональними показниками. Степінь з ірраціональним показником зберігає всі властивості степеня з раціональним показником. У класах з поглибленим вивченням математики, де учні знайомі з поняттям границі числової послідовності, можна сформулювати означення з степеня з ірраціональним показником так:

Вправи на закріплення:

1. Обчисліть: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Порівняйте числа: а) і ; б) і

3. Спростіть вираз: ; ; .

4. За допомогою мікрокалькулятора обчисліть з точністю до 0,001 значення:

а) ;

б) ;

в) ;

Маючи результати, знайдіть значення з точністю до 0,01.