План

1. Вступ. Методичні особливості вивчення теми.

2. Мета навчання та вимоги до навчальних досягнень учнів.

3. Корінь -го степеня та його властивості.

4. Узагальнення і систематизація знань про степінь.

5. Методика введення степеня із ірраціональним показником.

6. Степенева функція, властивості та її графік.

7. Методика введення показникової функції.

а) Методичні особливості вивчення показникової функції.

б) Мотивація вивчення показникової функції.

в) Деякі задачі, що приводять до поняття показникової функції.

г) Властивості показникової функції.

д) Вправи для закріплення властивостей показникової функції.

е) Показникові рівняння.

8. Висновок.

9. Література.

1. Вступ. Методичні особливості вивчення теми

Тема степенева та показникова функції одна з найважчих для сприймання учнями. За підручником А. П. Кисельова ця тема вивчалася у 10 класі. У 70-80-х роках тобто до 1983 року, вище згадану тему вивчали у два етапи. Перший проходив у 8 класі, де вивчалися самостійні теми: “Степінь з раціональним показником”, “Показникова функція”, “Десяткові логарифми”. На цьому етапі вводились функції і та їх властивості. Але у 8 класі і на наступних етапах навчання у суміжних предметах ці функції не мали належного застосування. Тому знову повернулись до вивчення степеневої, логарифмічної та показникової функції у курсі алгебри та початків аналізу 11 класу до 2000 року. Починаючи з 2000 року до 2010 року цей матеріал вивчається у 10 класі після узагальнення та систематизації знань учнів про функції та їх властивості.

Вивчення розділу розпочинається з введення поняття кореня n-го степеня та його властивостей, після чого розв’язуються ірраціональні рівняння та їх системи у загальноосвітніх школах (ірраціональні нерівності розв’язують у школах (класах) з поглибленим вивченням математики).

Перед вивченням показникової функції розглядається узагальнення поняття степеня, вводиться поняття про степінь з ірраціональним показником. У зв’язку з вивченням показникової, логарифмічної функції та їх тотожностей передбачено узагальнення основних показникових тотожностей: , , на будь-який дійсний показник.

2. Степенева функція. Основна мета та вимоги до навчальних досягнень учнів

Мета: Ввести означення кореня n-го степеня, арифметичного кореня n-го степеня, степеня з раціональним показником. Узагальнити поняття степеня. Навчити розв’язувати найпростіші ірраціональні рівняння (нерівності). Ввести означення степеневої функції, розглянути її графік і властивості.

У результаті вивчення теми “Степенева функція“ учні повинні знати:

• означення кореня n-го степеня і арифметичного кореня n-го степеня;

• властивості арифметичних коренів;

• означення степеневої функції, її графік і властивості.

вміти:

• застосовувати властивості степеня з раціональним показником до перетворення виразів;

• розв’язувати найпростіші ірраціональні рівняння (і нерівності);

• будувати ескізи графіків степеневих функцій і “читати” за графіками їх властивості.

Матеріал цієї теми вивчається у такому порядку:

• корінь n-го степеня – вводиться конкретно-індуктивним методом;

• арифметичний корінь n-го степеня та його властивості – використовують конкретно-індуктивним, абстрактно-дедук­тив­ний методи;

• перетворення коренів; дії над радикалами;

• ірраціональні рівняння, їх системи (нерівності);

• степінь з раціональним показником та його властивості. Узагальнення поняття степеня;

• степенева функція, її графік і властивості.

Можна використовувати лекційно-практичну форму навчання, частково-пошуковий метод вивчення теми, робота з підручником, самостійна робота та інші методи і форми навчання.

3. Корінь n-го степеня та його властивості

Використовуємо конкретно індуктивний та дедуктивні методи.

1. Повторення понять введених у 8 класі:

а) Квадратний корінь з числа а є число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад: 5 і -5 квадратні корені з 25 бо 5²=25 і (-5)²=25. і – квадратні корені з числа .

а) Додатний квадратний корінь з додатного числа а називається арифметичним квадратним коренем і позначають . Знак – на­зивають знаком арифметичного квадратного кореня.

б) Невід’ємні числа – всі додатні і число 0. Їх символічно записують , а читають а – невід’ємне число.

2) Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають невід’ємне число b, квадрат якого дорівнює а.

Із означення арифметичного квадратного кореня випливає:

а) має зміст тільки для ;

б) виконується нерівність , бо при і ;

в) виконується рівність .

Для того щоб довести, що число є арифметичним квадратним коренем із числа , треба перевірити виконання двох умов:

а) ;

б) .

Теорема: Із будь-якого , , можна добути арифметичний квадратний корінь причому тільки один.

Теорема: Для будь-якого .

Повторюємо властивості ; , .

Нехай , – натуральне число.

Означення: Коренем n-го степеня із числа , називається число перший степінь якого дорівнює .

Якщо n=2 маємо квадратний корінь.

Якщо n=3 – корінь називається кубічним.

Наприклад: 2 є кубічним коренем із числа 8 бо 2³=8.

3 є коренем четвертого степеня з 81 бо 3⁴=81.

-3 є також коренем четвертого степеня з 81 бо (-3)⁴=81.

Таким чином, якщо і b є коренем парного n-го степеня із а. Для n-парного i . Для знаходження кореня n-го степеня із числа а називається добуванням кореня n-го степеня. Ця дія є оберненою піднесення до n-го степеня.

Підносити до n-го степеня можна будь-яке дійсне число. Але добувати корінь n-го степеня можна не з будь-якого дійсного числа.

Наприклад: .

Якщо б існував корінь , то одержимо зліва невід’ємне число для , а справа – від’ємне.

Якщо , то корінь парного n-го степеня із числа а не існує на множині дійсних чисел.

Означення: Арифметичним коренем n-го степеня із невід’ємного числа а називається невід’ємне число b, n-ий степінь якого дорівнює а.

Позначаємо:

а – підкореневий вираз;

n – натуральне число ( ) – показник кореня.

Із будь-якого можна добути арифметичний корінь n-го степеня причому, тільки один. Єдиність доводиться. Корінь парного степеня із від’ємного числа не існує. Для кореня непарного степеня із від’ємного числа має місце твердження:

Нехай , тоді – арифметичний корінь з a, b>0 i .

Якщо п непарне натуральне ( ), то .

Отже, від’ємне число є коренем непарного степеня із від’ємного числа –а. Це єдиний корінь і позначаємо так, як і арифметичний корінь: ; .

Далі розглядаються чотири властивості, які учні можуть довести самостійно. Для цього вчитель записує план доведення:

1. Встановити, що права частина рівності, яку треба довести – невід’ємне число.

2. Піднести праву частину рівності до п-го степеня.

3. Скористатися означенням кореня п-го степеня.