lec15

Многокритериальная оптимизация

Агафья Тихоновна: “Если бы губы Никанора

Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича — я бы тогда тотчас же решилась.”

Н.В. Гоголь. «Женитьба». 1833

Пример

Покупка автомобиля

Какой автомобиль выбрать, чтобы он был мощным, недорогим, с малым расходом топлива?

Пример

минимизация пары функций

min f1(x) = x +1

x≥0

min f2 (x) = x2 −4x +5

x≥0

минимум f1 в точке x1 = 0

минимум f2 в точке x2 = 2

Задача многокритериальной оптимизации

i = 1,…, p.

Если x — эффективное решение, то ~y = f (~x ) называется недоминируемой точкой. Множество всех недоминируемых точек называется недоминируемым множеством и обозначается YN. Множество всех эффективных решений называется эффективным множеством и обозначается XE.

Пространство решений и пространство критериев

Пример Opel и Ford эффективный выбор или Парето*-оптимальные решения

X ={VW ,Opel, Ford,Toyota}

допустимое множество

fi : X → R ,i =1, 2

критерии оптимизации f = ( f1, f2 )

Y := f (X ) :={y R2 : y = f (x) для x X}

образ множества X или допустимое множество в пространстве критериев

min( f1(x), f2 (x))

x X

*Вильфредо Парето, 1848-1923 итальянский экономист

Пространство решений и пространство критериев

Пример минимизации двух функций

допустимое множество

X ={x R : x ≥ 0}

допустимое множество в пространстве критериев Y состоит из части графика, расположенной справа от вертикальной линии y1 =1

недоминируемые точки: 1 ≤ y1 ≤ 3, 1 ≤ y2 ≤5, соответствующие решениям

x [0,2]

Линейная свертка критериев

Вместо исходной многокритериальной задачи

min( f1(x),..., f p (x))

x X

будем решать задачу с одним взвешенным критерием

Графическая интерпретация

При заданных λ ищем элементы множества

y2

Y

y1

1.Всегда ли такой процесс дает недоминируемые точки?

2.Если да, то все ли точки можно получить, меняя λ ?

Эффективность по Джеоффриону

Допустимое решение x X называется эффективным по Джеоффриону, если x является эффективным и существует такое положительное число M, что для любого x X, удовлетворяющего условию

Точка ~y = f (~x ) называется недоминируемой по Джеоффриону.

Пример.

~ — недоминируемая точка y

x = (0, 1) не является эффективным по Джеоффриону.