Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4624 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

lec15

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.04.2020
Размер:
329.53 Кб
Скачать
☆

Теорема. Пусть положительные величины λk, k = 1,…, p удовлетворяют равенству ∑p λk =1. Если x — оптимальное решение линейной свертки, то

k=1

x— эффективное решение по Джеоффриону.

Доказательство. Покажем, что x — эффективное решение. Пусть x′ X,

~

 

~

f (x′) ≤ f (x ) и существует индекс i такой, что

fi (x′) < fi (x ). Т.к. λk > 0, то

p

p

~

 

 

∑λk fk (x′) < ∑λk f (x ),

k =1

k =1

 

что противоречит оптимальности x в линейной свертке.

Покажем эффективность по Джеоффриону. Положим M :=( p −1) max λλj .

ij i

Предположим, существует x X

~ − > ~ fi (x ) fi (x) M ( f j (x) − f j (x ))

и такой индекс i ≤ p, для всех индексов j, где

~

что fi (x) < fi (x ) и

~

f j (x ) < f j (x).

-11-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Тогда по выбору M получаем

~

p −1

 

fi (x ) − fi (x) >

 

 

λj ( f j

λ

 

i

 

Заметим, что неравенство верно для всех j ≠

виально. Умножим это неравенство на λi ( p−1)

~

 

(x) − f j (x )).

i, т.к. при

~

f j (x ) ≥ f j (x) оно три-

и сложим по всем j ≠ i:

 

 

~

~

 

λi ( fi (x ) − fi (x)) > ∑λj ( f j (x) − f j (x ))

 

 

(x) > ∑λj f j

j≠i

~

 

~

Тогда λi fi (x ) −λi fi

(x) −∑λj f j (x ),

 

 

j≠i

j≠i

 

~

~

 

группируем λi fi (x ) +∑λj f j (x ) >λi fi (x) +∑λj f j (x).

 

 

j≠i

j≠i

p

~

p

~

 

 

Получаем ∑λi fi (x ) > ∑λi fi (x), что противоречит оптимальности x . ■

i=1

 

i=1

 

Верно ли обратное утверждение?

-12-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

y2

Y

y1

~

y

y2

y1

 

~ — недоминируемая точка y

-13-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Лемма (о свойствах выпуклых функций). Пусть X Rn — выпуклое множество и все функции hk : Rn → R выпуклые k = 1,…, p. Если система hk (x) < 0, k = 1,…, p, не имеет решений x из множества X, то существуют такие неори-

цательные величины λk, в сумме равные 1,

 

p

 

 

∑λk =1, λk ≥ 0

, что

 

k =1

 

p

∑λkhk (x) ≥0 для всех x X.

k=1

Без доказательства.

-14-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Теорема. Пусть X Rn — выпуклая область и все функции fk :Rn → R выпуклые, k = 1,…, p. Тогда x X является эффективным решением по Джеоффриону, если и только если x — оптимальное решение линейной свертки с положительными весами λk , k = 1,…, p.

Доказательство. Проверим необходимость. Достаточность следует из предыдущей теоремы.

Пусть x — эффективное решение по Джеоффриону. Из определения следует, что существует M > 0, для которого при любом i = 1,…, p система

fi (x) <

~

 

fi (x )

 

 

~

~

fi (x) + Mf j (x) < fi (x ) + Mf j (x ), j ≠i

не имеет решений.

-15-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Тогда по лемме о выпуклых функциях для i-й системы найдутся величины

λik ≥ 0, k = 1,…, p в сумме равные 1, т.е. ∑p

λik =1 при которых для любого

 

 

 

 

k =1

 

 

 

 

x X верно неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

i

~

i

~

~

 

λi fi (x)

+∑λk ( fi (x) + Mfk (x)) ≥ λi fi (x ) +∑λk ( fi (x ) + Mfk (x )).

 

 

k ≠i

 

 

 

k ≠i

 

 

 

Открываем скобки:

 

 

 

 

 

 

 

i

i

i

i

~

i

~

i

~

λi fi (x) +∑λk fi (x) + M ∑λk fk (x) ≥λi fi (x ) +∑λk fi (x )

+ M ∑λk fk (x ).

k ≠i

 

k ≠i

 

 

k ≠i

 

k ≠i

 

Заносим в сумму первое слагаемое в обеих частях неравенства:

p

 

p

~

 

~

i

i

i

i

∑λk fi (x) + M ∑λk fk (x) ≥ ∑λk fi (x ) + M ∑λk fk (x ).

k =1

k ≠i

k =1

 

k ≠i

 

-16-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Пользуясь равенством ∑p

λik =1, получаем:

 

 

k =1

 

 

 

 

 

i

~

i

~

fi (x) + M ∑λk

fk (x) ≥ fi (x ) + M ∑λk fk (x ).

 

k ≠i

 

k ≠i

 

Итак, для каждого i = 1,…, p получили неравенство. Складывая их по i, по-

p

p

 

p

 

 

p

fi (x ).

 

 

лучаем: ∑fi (x) + M ∑∑λk fi (x) ≥ ∑fi (x ) + M

∑∑λk

 

 

 

 

i

 

~

 

i

~

 

 

i=1

i=1 k ≠i

i=1

 

 

i=1 k ≠i

 

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

~x )

верно для

Отсюда следует, что ∑ 1

+ M ∑λik fk

(x) ≥∑ 1

+ M ∑λik fk (

 

k =1

i≠k

 

k =1

 

i≠k

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

всех x X. Поделив обе части на∑ 1+ M ∑λik , получаем нормированный

 

 

k =1

 

i≠k

 

 

 

 

 

вектор λ > 0, указанный в теореме, при котором x — оптимальное решение в линейной свертке. ■

-17-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Пример. X ={x R2

| x2

+ x2

≥1} f1(x) = x1, f2(x) = x2

≥

1

2

 

~

y2

1

Y

~

y1

1

X E ={x X | x12 + x22 =1} — решения, эффективные по Парето.

При любых λ ≥ 0 линейная свертка дает только ~ , ~ ! y1 y2

-18-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Метод уступок

Для ε Rp рассмотрим задачу с одним критерием

 

min f j (x)

 

 

x X

( )

при условии

fk (x) ≤ε, k ≠ j

 

Теорема. Допустимое решение x X является эффективным по Паретоε Rp, при котором x — оптимальное решение ( ) для всех j = 1,…, p.

Доказательство. Положим ε~ = f (~x ) и предположим, что x не является

оптимальным решением для некоторого j. Тогда найдется x X , для кото-

~

 

~

~

рого f j (x) < f j (x )

 

и fk (x) ≤εk = fk (x ), k ≠ j, т.е. x не является эффектив-

ным по Парето.

 

~

 

Предположим,

 

что x X E . Тогда j и решение x X , для которых

~

 

~

Поэтому x не может быть оптимальным

f j (x) < f j (x ) и fk

(x) ≤ fk (x ), k ≠ j.

решением ни при каком ε, если x — допустимое решение для этого ε.

-19-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация

Пример

f2(x)

Y

y(ε1)

y(ε2)

f1(x)

ε1 ε2

-20-

Лекция 15. Многокритериальная оптимизация
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности