1 |
2 |
3
4 |
План лекции
Параллельность прямой и
плоскости
Пересечение прямой и
плоскости
Параллельность двух плоскостей
Пересечение двух плоскостей
1. Параллельность
прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей в заданной плоскости.
1. |
Параллельность |
|
|||
прямой и плоскости |
|
||||
Задача. Через точку М провести прямую, |
|||||
параллельную плоскости { АВС}. |
|||||
|
В2 |
|
|
|
Алгоритм решения: |
|
|
12 |
М2 |
N2 1. В плоскости |
|
|
|
|
{ АВС} провести |
||
А2 |
|
|
любую прямую (А1); |
||
|
|
|
|
2. Через точку М |
|
|
|
|
|
провести прямую |
|
|
|
|
|
|
(МN), параллельную |
|
|
|
|
С2 |
прямой (А1); |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
Примечание: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
В качестве произвольной |
|
|
|
|
|
|
прямой может быть |
А1 |
|
|
|
|
выбрана одна из сторон |
|
|
11 |
М1 |
фигуры, ограничивающей |
|
|
|
плоскость |
|||
|
|
1 |
|
N1 |
|
|
|
В |
|
|
|
2. Пересечение прямой и
плоскости
Задачи на определение пересечения (общих элементов) заданных поверхностей называются
позиционными.
2. Пересечение |
|
Определение точки |
|
прямой и п оскости |
|
пересечения |
|
прямой и плоскости |
Алгоритм решения: |
|
|
|
1. Через прямую (АВ) |
P |
В |
|
ввести вспомогательную |
|
проецирующую плоскость |
||
|
P; 2. Найти линию |
||
|
|
|
пересечения |
|
К |
2 |
вспомогательной |
|
плоскости с заданной; |
||
1 |
3. Определить точку |
||
пересечения построенной |
|||
|
|
линии с заданной; |
|
|
|
|
4. Определить |
|
А |
|
видимость . |
|
|
|
|
2. |
Пересечение |
|
|
|
|
|
|
||
|
прямой и плоскости |
|
|
|
|
|
|
|||
Задача. Определить точку пересечения |
||||||||||
прямой (АВ) и плоскости { DEF}. |
|
|||||||||
|
|
|
51 |
В2 |
|
F2 |
Р2 |
Дано: |
|
|
|
|
|
|
{ АВС}: А(110, |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
70, 40), |
В(50, 0, |
|||
|
|
|
К2 |
|
2 |
|
70), |
|||
А2 |
|
41 |
2=3 |
|
С(20, |
|||||
|
|
С2 |
|
|
40, 20) ; |
|||||
|
E |
|
12 |
|
|
|
|
|||
|
2 |
В1 |
|
|
|
Найти:(EF): E(90, 10, |
||||
|
|
|
|
20),К={ АВС}∩( |
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
EF) |
F(10, |
|
E1 |
|
|
|
|
Решени |
|
||||
|
|
|
|
|
70, 65); |
|
||||
|
|
21 |
|
|
е: |
Р: P П2, |
||||
|
|
|
|
1. |
||||||
|
|
|
|
(EF)2. ϵP; |
|
|||||
|
41=51 |
|
|
|
|
(12)=Р∩{ АВС}; |
||||
|
К1 |
|
|
|
3. |
К=(12)∩(EF); |
||||
|
|
|
|
С1 |
|
|
4. Определить |
|||
|
|
|
|
31 |
|
|
видимость прямой |
|||
А1 |
|
11 |
F1 |
|
(EF) с помощью |
|||||
|
|
|
конкурирующих |
|||||||
|
|
|
|
точек. |
|
|||||
3. Параллельность двух
плоскостей
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
3. |
Параллельность двух |
|
|
||
|
плоскостей |
|
|
|
|
Задача. Через точку М провести плоскость, |
|||||
параллельную плоскости { АВС}. |
|||||
|
В2 |
М2 |
N2 |
|
Алгоритм решения: |
|
|
|
1. В плоскости |
||
А2 |
|
L2 |
{ АВС} выбрать две |
||
|
С2 |
пересекающиеся |
|||
|
прямые,2. Черезнапример,точку М(АВ) |
||||
|
|
|
|
(АС); |
|
|
|
|
|
|
провести прямые (МN) |
|
|
|
|
|
и (ML), параллельные |
X |
|
|
|
|
выбранным прямым (АВ) |
|
|
|
|
и (АС), соответственно; |
|
|
|
|
|
|
Пересекающиеся |
|
|
|
С1 |
|
прямые (МN) и (ML) |
А1 |
|
L1 |
задают искомую |
||
М1 |
плоскость. |
||||
|
В1 |
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Параллельность двух |
|
|
|
|
|
||
|
|
плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если плоскости |
|
||||
|
|
параллельны, то их одноименные |
|||||
|
|
следы также параллельны. |
|
||||
|
|
|
1. |
РП1 // |
|
|
{Р} // |
|
|
|
|
||||
|
|
|
QП1 |
РП2 // |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
{Q} |
|
X |
Q |
Р |
QП2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пересечение двух
плоскостей
Пересечение проецирующих плоскостей
Пересечение плоскости общего положения и проецирующей
Пересечение плоскостей общего положения
4. |
Пересечение |
|
|
|
|
|
||
|
плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Определить точку пересечения плоскостей |
||||||||
{ АВС} и { DEF}. |
|
|
|
|
||||
|
M2 |
В2 |
|
E2 |
|
Дано: |
{ АВС} |
|
|
|
|
|
|
П1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
{ DEF} |
|
|
|
|
|
|
F2 |
Найти: |
(MN)={ АВС}∩{ D |
|
|
|
|
|
|
П1. |
||
|
А2 |
|
|
|
|
|
EF} |
|
|
|
|
|
|
Решени |
|||
|
2N2 |
|
С2 |
|
е: |
|
||
|
|
|
1. Так как заданные |
|||||
|
|
|
плоскости |
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
горизонтально- |
|
X |
|
|
|
|
|
проецирующие, то на |
||
|
|
|
|
|
горизонтальной |
|||
|
D1 |
|
|
|
С1 |
|
плоскости проекций их |
|
|
|
|
|
|
общим элементом |
|||
|
|
|
|
|
|
2. Определить |
||
|
|
|
|
|
|
|
является горизонтально- |
|
|
M =N |
|
В1 |
|
|
видимость |
||
|
|
|
|
проецирующая прямая |
||||
|
1 |
|
1 |
E1 |
|
плоскостей. |
||
|
|
F1 |
(MN); |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Пересечение |
|
|
|
|
|
|
плоскостей |
|
|
|
|
|
Задача. Определить точку пересечения плоскостей |
||||||
{ АВС} и { DEF}. |
|
|
|
|
||
|
M2 |
В2 |
E2 |
|
|
Дано: { АВС}; |
|
|
|
|
{ DEF} П1. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
F2 |
Найти:(MN)={ АВС}∩{ D |
|
|
А2 |
|
|
EF} |
||
|
|
|
Решени |
|||
|
|
|
|
|
е: |
|
|
|
N2 |
С2 |
|
|
1. Так как одна из |
|
2 |
|
|
заданных плоскостей |
||
|
|
|
горизонтально- |
|||
|
D |
|
|
|
проецирующая, то на |
|
X |
В1 |
|
|
|
горизонтальной |
|
|
D1 |
|
|
|
плоскости проекций их |
|
|
|
|
|
общим элементом |
||
|
|
|
|
|
является прямая (MN), |
|
|
M1 |
|
С1 |
|
|
горизонтальная проекция |
|
|
|
|
которой совпадает с |
||
|
|
|
|
проекцией |
||
|
|
N1 |
|
|
2. Фронтальная |
|
|
|
|
|
горизонтально- |
||
|
|
|
|
проекция строится |
||
|
|
|
|
проецирующаяпо линиям связи. |
||
|
1 |
|
E1 |
F |
1 |
3. Определить |
|
|
плоскости { DEF}; |
||||
|
А |
|
|
|
видимость |
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей. |