8. Кручение. Крутящий момент. Касательные напряжения. Условие прочности.

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент М_к. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на оставшуюся часть стержня со стороны отброшенной части момент направлен против хода часовой стрелки. Стержень, испытывающий деформацию кручения, называется валом. График, показывающий изменение крутящего момента вдоль оси вала, называется эпюрой крутящих моментов (Эп.М_к). Для построения Эп.М_к вал разделяют на участки, на каждом из которых крутящий момент находят методом сечений, а затем строят графики полученных уравнений.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

где:

 — геометрический полярный момент инерции;

 — длина стержня;

G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине  , называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Напряжения при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения  , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

,

где r — расстояние от оси кручения.

Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при   и при максимальном крутящем моменте  , то есть

,

где W_p — полярный момент сопротивления.

Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:

.

Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

9. Определение угла закручивания. Условие жесткости при кручении. Зависимость между относительным углом закручивания и крутящим моментом Подставим выражение в формулу :

С учетом того, что интеграл в полученной формуле представляет собой полярный момент инерции поперечного сечения, получим иную форму закона Гука при кручении вала: , где для круглого стержня формула полярного момента через диаметр: .

Формула относительного угла закручивания:

Из формулы относительного угла закручивания следует, что произведение модуля сдвига и полярного момента  характеризует жесткость стержня при кручении. Напомним, что модуль сдвига ( ) характеризует жесткость материала при сдвиге (кручении).

Условие жесткости при кручении

За меру жесткости при кручении принимается относительный угол закручивания вала ( ).Формула условия жесткости при кручении:

, где  – значение допускаемого относительного угла закручивания, град/м, зависящее от назначения вала.

10. Поперечный изгиб. Поперечная сила и изгибающий момент.

Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь. При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:

1) поперечная сила Qy считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;

2) изгибающий момент Мz считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).

В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, - на эпюре Q_y скачок по модулю равный этой силе, на эпюре М_х – излом навстречу силе.

2. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, - на эпюре М_х скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Q_y это не сказывается.

3.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то Q_y изменяется по линейному закону, М_х – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (М_х = М_экстр – в сечении, где Q_y меняет свой знак)

Изгибающий момент — момент внешних сил относительно сечения балки.

Для балки, изображенной на рисунке,