Вправи для самостійного розв‘язування

1. Знайти інтервали монотонності функції:

2. Знайти екстремум функції:

   1. 

   2. 

      3. Знайти інтервали опуклості , вгнутості графіка функції та точки перегину:

Тема. Похідні та диференціали вищих порядків

План

1. Похідні вищих порядків.

2. Диференціали вищих порядків.

Література:

Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища математика" (К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін.) ст.113.

Студенти повинні знати: похідні та диференціали вищих порядків.

Студенти повинні вміти: знаходити похідні та диференціали вищих порядків.

Похідні та диференціали вищих порядків

Означення: Похідна y' =f'(x) від функції y = f(x) називається похідною першого порядку .

Означення: Похідна від похідної першого порядку (у')' називається похідною

другого порядку від функції y =f(x) і позначається у", f'(х),

Означення: Похідна від похідної другого порядку (y")' , називається похідною третього порядку і позначається у'", f'"(x),

Означення: Похідна від похідної (n-1)-го порядку (y називається похідною n-го порядку і позначається у⁽ⁿ , f⁽ⁿ⁾(x),

Таким чином, у^(п) = (у^(n-1))',п = 1,2...

Приклад

Знайти похідну третього порядку для функції у = sin(5x + 4).

Розв'язання:

y' = 5cos(5x+);

y" =-25 sin(5x + 4);

у'" = -125cos(5x + 4).

Завдання для самостійної роботи студентів

1) Знайти у", у = ln х

2) Знайти у", у = (2х + 2)³

Тема: Застосування похідної до розв‘язування задач з фізичним і

технічним змістом

План

1. Механічний зміст похідної.

2. Приклади задач, які розв‘язують за допомогою похідної.

Література:

1. ,, Алгебра и начала анализа “. Часть 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука,1987.

Студенти повинні знати: механічний зміст похідної, приклади задач, що розв‘язують за допомогою похідної.

Студенти повинні вміти: розв‘язувати прикладні фізичні задачі за допомогою похідної.

Похідна є характеристикою швидкості зміни функції, тому вона широко застосовується при розв‘язуванні фізичних і технічних задач.

1. Миттєва швидкість розпаду радіоактивної речовини за час дорівнює , де – зміна маси за час .

2. Миттєва потужність , де – робота, виконана за час .

3. Якщо – об‘єм рідини, на який діє зовнішній тиск , то є коефіцієнт стиску рідини за даного тиску.

4. Якщо тверде тіло обертається навколо осі, то кут повороту є функцією від часу . Кутова швидкість в даний момент .

5. Сила струму є похідною , де – додатний електричний заряд, що переноситься через переріз провідника за час

6. Теплоємність за температури є похідною , де в – кількість теплоти, необхідна для зміни температури на