Довжина дуги кривої

Нехай плоска крива задана рівнянням причому і неперервні на проміжку

Тоді диференціал довжини дуги виражається формулою:

або а довжина дуги обчислюється за формулою: (1)

де і – значення незалежної змінної в точках і .

Якщо криву задано рівнянням то довжина дуги обчислюється за формулою: (2)

де і – значення незалежної змінної в точках і

Розглянемо приклади обчислення довжини дуги кривої.

Приклад 1. Знайти довжину дуги параболи між точками і

Розв‘язання:

Диференціюємо рівняння парпаболи За формулою (1):

Приклад 2. Знайти довжину параболи між точками і

Розв‘язання:

Використаємо формулу (2), за аргумент приймаємо змінну .

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити площу поверхні, що утворює при обертанні дуги кривої навколо осі

2. Знайти довжину дуги параболи між точками її перетину з віссю

Тема: Обчислення об‘ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла

План

1. Обчислення об‘єму тіла, знаючи закон зміни площі його поперечного перерізу.

2. Об‘єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі OX або OY .

Література:

1.Вища математика: Навч. – метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. – К. : КНЕУ, 1999. – с. 273 – 275.

Студенти повинні знати: формули для обчислення об‘ємів тіл за допомогою інтеграла.

Студенти повинні вміти: обчислювати об‘єми тіл за допомогою визначеного інтеграла.

Нехай функція – площа поперечного перерізу тіла площиною, перепендикулярною осі в деякій точці Відрізок дає лінійний розмір тіла у напрямі осі .

Тоді об‘єм тіла обчислюється за фомулою:

(1).

Для обчислення об‘єму тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями застосовують формулу:

(2).

Об‘єм тіла, утвореного обертанням навеоло осі фігури, що обмежена лініями

обчислюють за формулою:

(3).

Розглянемо приклади обчислення об‘ємів тіл Приклад 1. Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями

Розв‘язання:

За формулою 2:

Приклад 2. Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями

Розв‘язання:

Застосуємо формулу (3), для цього з рівняння прямої виразимо через .

Тоді