Завдання для самостійної роботи студентів

Обчислити наближено

1) ; 2) (3,007)⁴

Тема: Знаходження проміжків монотонності і точок екстремуму, проміжків опуклості, вгнутості та точок перегину

План

1. Дослідження функції на монотонність та екстремум за допомогою похідної.

2. Знаходження проміжків опуклості, вгнутості функції.

3. Точки перегину.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К. : КНЕУ, 1999. - с. 148 – 153, 154 – 155.

2. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення зростаючої та спадної функції, необхідну та достатню умови зростання і спадання функції; означення екстремумів функції, необхідну та достатню умови екстремуму; означення опуклої та вгнутої кривої на проміжку, означення точки перегину, алгоритм знаходження проміжків опуклості і точок перегину.

Студенти повинні вміти: розв‘язувати вправи на знаходження проміжків монотонності, точок екстремуму, проміжків опуклості, вгнутості та точок перегину функцій.

Ознака зростання функції

Означення: Функція y =f (x), визначена на інтервалі (a;b) називається

зростаючою, якщо для будь-яких значень x₁ і х₂ із цього інтервалу з не­рівності x₂ > x₁ випливає нерівність f( x₂) >f ( x₁ ).

Теорема 1. ( Ознака зростання функції)

Якщо функція y =f (x) диференційовна в інтервалі (a;b) і в кожній точці цього інтервалу справджується умова f '(x)>0 , то функція зростає на цьому інтервалі.

Ознака спадання функції

Означення: Функція y =f (x), визначена на інтервалі (a;b),називається спадною, якщо для будь-яких значень х₁ і х₂ з цього інтервалу із нерів­ності x₂ > x₁ випливає нерівність f( x₂) <f ( x₁ ).

Теорема 2. ( Ознака спадання функції )

Якщо функція y =f (x) диференційовна в інтервалі (a;b) і в кожній точці цього інтервалу справджується умова f '(x)<0 , то функція спадає на цьому інтервалі.

Означення: Внутрішні точки із області визначення функції, де похідна не існує або дорівнює нулю, називаються критичними точками функції.

Алгоритм дослідження функції на монотонність:

1) Знайти область визначення функції Д(y);

2) знайти похідну f '(x);

3) знайти критичні точки функції : f '(x) = 0 ;

4) відмітити область визначення функції і критичні точки на числовій прямій ;

5) визначити знак похідної на кожному з інтервалів;

6) зробити висновок : якщо на розглянутому інтервалі похідна функції додатна, то на цьому інтервалі функція зростає, якщо від'ємна — спадає.

7) записати відповідь.

Приклад. 1 Визначити інтервали зростання і спадання функції

1)Функція визначена і диференційовна в інтервалі .

2) знайдемо похідну

.

3) знайдемо точки, в яких ця похідна дорівнює нулю, тобто критичні точки:

x₂ = -

_{4 )}

Оскільки похідна функції є не­перервна функція в інтервалі , то вона зберігає знак в інтервалах і .

5) Значення похідної в точці х = 2 від'ємне, а в точці х = 3 додатне.

6) Тому f '(x) < 0 для всіх і f '(x) > 0 для всіх .

Функція спадає в інтервалі і зростає в інтервалі

Приклад 2. Знайти проміжки зростання і спадання функції

Зробимо перетворення функції:

f(x) = + = 4x² +

□ Функція визначена і диференційовна на всій числовій прямій, крім точки х = 0 ,тобто D(y) = (- ∞; 0 )U ( 0 ; ∞ )

Знайдемо її похідну: y' = (4x² + ) ' = 8x- = ;

Критична точка функції х = розбиває область визначення функції на інтервали (- ∞; 0); ; .

Визначимо на кожному з них знак похідної.

Оскільки f '(x) > 0 на інтервалі ( ; ∞ ), то функція зростає на цьому інтервалі;

на інтервалах (- ∞; 0) _; f '(x) < 0 , то функція спадає .

Екстремуми функції

При дослідженні функції велике значення мають її критичні точки. У критичних точках похідна функції або дорівнює нулю, або ж не іс­нує.

Означення 1: Точка х₀ називається точкою максимуму функції у = f (х), якщо для всіх x ≠ x₀ з деякого околу цієї точки виконується нерівність

f (x )< f (x₀)

Означення 2: Точка х₀ називається точкою мінімуму функції у = f (х), якщо для всіх x ≠ x₀ з деякого околу цієї точки виконується нерівність

f (x ) > f (x₀)

Означення 3: Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремума.

Означення 4: Значення функції в точках екстремума називається екстремумом функції.

Необхідна умова екстремуму функції

Теорема ( необхідна умова екстремуму функції ):

У точці екстремуму диференційованої функції похідна її дорівнює нулю: f '(x₂)=0.

Наслідок.

Неперервна функція може мати екстремум тільки в тих точ­ках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Дійсно, якщо в точці x₀ екстремуму функції f(x) існує похідна f '(x₀),

то, в силу даної теореми, ця похідна дорівнює нулю.

Те, що в точці екстремуму неперервної функції похідна може не існува­ти, показує приклад функції, графік якої має форму «ламаної» (мал.1).

мал.1 мал.2

З тих обставин, що f '(x₀)=0, не випливає, що функція f(x) має екстремум при x=x₀.

Наприклад,

нехай f(x) = х³. Тоді f '(x) = Зх² і f '(0) = 0, однак значення f(0)= 0 не є екстремумом даної функції (мал.2).

Отже, не для всякого критичного значення аргументу функції f(x) має місце екстремум цієї функції. Через це поряд з необхідною умовою існу­ють достатні умови існування екстремуму функції.

Теорема (достатня умова екстремуму функції ):

Нехай функція f(x) неперервна на деякому інтервалі, в якому знаходи­ться критична точка х₀, і диференційовна у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х₀ ). Якщо при переході через цю точку похідна:

1) змінює знак з «+» на «-», то при х = х₀ функція має максимум;

2) змінює знак «-» на «+», то функція має у цій точці мінімум.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію

f(x)= x³ – 3x + 2

1.Областю визначення функції є множина дійсних чисел , тобто хєR.

2. Знайдемо похідну функції:

f ′(x)= ( x³ – 3x + 2 )′ = 3х² – 3 ;

3. Знаходимо критичні точки : f ′(x) = 0

3х² – 3 = 0;

3( х² – 1) = 0;

( х² – 1) = 0;

(х – 1)( х + 1) = 0;

х₁ = - 1 ;х₂ = 1 .

4. Відмічаємо ці критичні точки на числовій прямій :

f ′(x) + - +

______________-1_________________1_________________

f(x) ↑ ↓ ↑

5. Дослідимо знак похідної f ′(x) = 3х² – 3 на кожному із отриманих інтервалів:

f ′(-2)>0 ; f ′(0) < 0 ; f ′(2) > 0 .

6. Точка х = - 1 − точка максимума, так як при переході через неї похідна змінює знак з «+ » на «−» ; точка х = 1 − точка мінімума, так як при переході через неї похідна змінює знак з «−» на «+ »:

y_max= y(-1) = 4;

y_min = y(1) = 0.

Відповідь: х = - 1 − точка максимуму

х = 1 − точка мінімуму , y_max= y(-1) = 4;

y_min = y(1) = 0.

У деяких випадках точки екстремуму функції можна знайти за допомогою її другої похідної.

Теорема

Якщо в деякій точці x₀ перша похідна функції дорів­нює нулю, а друга — більша від нуля, тобто

f '( x₀) = 0, f "(x₀) > 0, то

x₀ — точка мінімуму функції.

Якщо в деякій точці x₀ перша похідна функції дорівнює нулю, а друга — менша від нуля, тобто

f '(x₀) = 0, f "(x₀) < 0, то

х₀ — точ­ка максимуму функції .

Ця теорема дає змогу сформулювати друге правило дослідження функ­ції на екстремум.

Друге правило: щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:

1.Знайти область визначення функції;

2.знайти першу похідну: f(x)′ ;

3.знайти критичні (стаціонарні) точки заданої функції: f(x)′ = 0;

4.знайти похідну другого порядку: f(x)′′ ;

5.обчислити похідну другого порядку в критичних точках ; 6. зробити висновок:

якщо похідна f(x₀)′′ ≠ 0 , то х₀ є екстремальною точкою для функції f(x),

а саме точкою мінімуму, якщо f"(x₀) > 0 ,

і точкою максимуму, якщо f"(x₀)<0 ;

7.обчислити значення функції в точках екстремуму.

Зауважимо, що друге правило є більш зручним при користуванні, ніж перше. Проте, якщо друга похідна в стаціонарній точці перетворюється в нуль, то користуються першим правилом дослідження функції на екс­тремум.

Приклад . Дослідити на екстремум функцію f(x) = х³ – 3х + 2 .

Маємо:

1) D(y) = R ;

2) f ′ (x) = 3 x ²-3 ;

3) f ′ (x) = 0 : 3 x ²-3 = 0;

х₁= - 1 , х₂ = 1

4) f ′′ (x)= 6х

5) f ′′ (-1)= - 6 ; f ′′( 1)= 6;

6) f ′′ (-1)= - 6 < 0 ; f ′′( 1)= 6 > 0.

Отже, в точці х₁ = -1 функція має максимум, а в точці х₂ = 1 - мінімум;

7. f(-1)= 4 ; f(1)=0.

Відповідь: х₁ = -1 точка максимуму,

х₂ = 1 - точка мінімуму, f(-1)= 4 ; f(1)=0.

Опуклість та вгнутість

Нехай функція f диференційовна в інтервалі (а;b). Тоді в кожній точці цього інтервалу існує дотична до кривої і ця дотична не пара­лельна осі OY.

Означення 1: Крива у = f(x) називається опуклою в інтервалі(а;b), якщо вона лежить нижче, ніж будь-яка дотична, проведена в до­вільній точці цієї кривої.

Означення 2: Крива у = f(x) називається увігнутою на інтервалі(а;b), якщо вона лежить вище, ніж будь-яка дотична, проведена в довіль­ній точці цієї кривої.

Теорема. Якщо друга похідна f ״ функції f є додатною на інтервалі (а;b), то крива у=f(x) вгнута на цьому інтервалі,

а якщо від'ємна - то опукла.

Точки перегину

Означення 3: Точка кривої у = f(x), при переході через яку крива

змінює опуклість на вгнутість і навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм знаходження інтервалів опуклості і вгнутості та точок перегину функції.

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти першу похідну.

3. Знайти другу похідну .

4. Знайти критичні точки другого роду: f ״(x) = 0

5. Відмітити область визначення і критичні точки другого роду на числовій прямій .

6. Визначити знак другої похідної на кожному проміжку.

7. Зробити висновок.

Приклад 1. Знайти інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину функції

y = x⁴ + 2x³ – 12x² – 5x + 2.

Розв’язування

1. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, тобто

x є R.

2. Знайдемо першу похідну:

y′ = ( x⁴ + 2x³ – 12x² – 5x + 2)′ = 4x³ + 6x² – 24x – 5.

3. Знайдемо другу похідну:

y״ = (4x³ + 6x² – 24x – 5)′ = 12x² + 12x – 24 .

4. Знайдемо критичні точки другого роду: f ״(x) = 0

12x² + 12x – 24 = 0;

x² + x - 2 = 0;

x₁ = - 2 ; x₂ = 1.

5. Відмітимо область визначення і критичні точки другого роду на числовій прямій .

y ״ + – +

_______________-2___________________1_______________

y ∩

5. Дослідимо знак другої похідної на кожному інтервалі :

y״(- 3)>0 , y״ (0) < 0, y״ (2) > 0 .

7. Крива вгнута при х < -2 і х > 1;

крива опукла при - 2 < х < 1;

при х = - 2 і х = 1 – перегин , y(-2) = -36 , y(1) = - 12 .

Точки перегину (-2; -36), (1 ; -12) .