Завдання для самостійного розв‘язування

1. Знайти похідну неявних функцій:

а)

б)

в)

2. Знайти функцій, заданих параметрично.

а)

б)

в)

Тема: Диференціал функції, його геометричний зміст. Застосування диференціала до наближених обчислень

План

1. Означення диференціала.

2. Геометричний зміст диференціала.

3. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Література:

1. Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища математика" (К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова, О.І. лютий та ін.) ст. 139-140.

2. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення диференціала, геометричний зміст диференціала.

Студенти повинні вміти: знаходити диференціал. Застосовувати диференціал до наближених обчислень.

Диференціал функції

Розглянемо приріст функції у довільній точці х:

∆y =( x + ∆x )² – x² = 2x∆x + (∆x )² (1)

Множником при ∆x , як бачимо, є похідна від даної функції, тобто

y′ = 2x (2)

Враховуючи рівність (2), рівність (1) перепишемо так:

∆y = y′ ∆x + (∆x )² (3)

Прослідкуємо за зміною величини обох доданків у правій частині рів­ності (3) при зменшенні ∆x

Покладемо, наприклад, _{x = 2}. Тоді y′ = 4 . Складемо таку таблицю

значень цих доданків:

Розглянувши таблицю, бачимо, що доданки y′ ∆x і (∆x )² _{зменшуються,}

із зменшенням ∆x , причому перший доданок змінюється пропорційно Δх, другий - значно швидше. Зокрема, при ∆x =0,01 приріст функції ∆y = 0,004 + 0,000001 = 0,004001

Як бачимо, основна частка приросту припадає на перший доданок.

Означення: Диференціалом функції називають добуток її похідної на приріст аргументу.

Нехай маємо функцію y = f (x) . Її диференціал позначають через dy

_{( або df(x) )} . За означенням

dy = f ′(x) ∆x . (4)

Диференціал функції подають у такому вигляді:

dy = f '(x)dx (5)

Щоб знайти диференціал функції необхідно :

1. знайти похідну функції ;

2. помножити її на диференціал аргументу.

З формули (5) випливає ще одне означення похідної:

f '(x) =

Отже, похідну можна розуміти як відношення диференціала функції до диференціала аргументу.

Зазначимо ,що диференціал має дві властивості.

1. Диференціал функції—це головна частина приросту функції.

2. Диференціал у розглядуваній точці х₀ є лінійною функцією від Δх.

Приклад . Знайти диференціал функції y = 5 lnx⁴ .

dy = f '(x)dx

Знайдемо похідну: y '= (5 lnx⁴ )' = 5 ( lnx⁴ )' = 5· · ( x⁴ )' = 5 · =

dy = dx.

Відповідь: dy = dx.

Геометричний зміст диференціала

Нехай графік диференційовної функції зображений на малюнку.

Візьмемо на кривій точки М₀(х₀; y₀) і M₀(х₀+∆x; y₀+ ∆y) . У точці М_о проведемо дотичну до графіка функції у = f(x). Тоді з трикутника знайдемо відрізок KN:

tgα = ; KN= tgα · Δx; але tgα = k = f '(x₀) , Δx = dx

KN= f '(x₀)·dx

або

_{KN =} dy (1)

Рівність (1) і характеризує геометричний зміст диференціала: диферен­ціал функції дорівнює приросту ординати точки М_о, коли остання, рухаю­чись вздовж дотичної, займає положення точки К.

Застосування диференціала до наближених обчислень

а) Наближене обчислення приросту функції :

Δf ≈ df = f '(x₀)·dx

Приклад 1. Обчислити приріст функції y = x³ – 2x +5 при зміні аргументу від 2

до 2,01.

Δx =dx = 2,01 – 2 = 0,01 , x₀ = 2 ;

y' = 3x² – 2 ;

y'(2) = 3·2² – 2 = 10 ;

Δy = 10·0,01 = 0,1.

Відповідь: Δy = 0,1

Приклад 2. Знайти наближено приріст функції y = 3x²+2 при х=2 і Δх = 0,001. Визначити абсолютну та відносну похибки обчислень .

Оскільки приріст аргументу - величина мала, то приріст функції можна замінити її диференціалом:

Δf ≈ df = f '(x₀)·dx, х=2 ,dx =0,001.

y' = 6x ;

y'(2) = 6·2 = 12;

dy = 12·0,001 = 0,012, dy=0,012.

Знайдемо помилку, отриману при заміні приросту функції її диференціалом. Для цього обчислимо точне значення приросту функції:

Δy = f(x+ Δх) – f(x) = 3(x+ Δх)² + 2 – (3x²+2) = 3x² + 6xΔx + 3(Δx)² +2 - 3x² – 2 =

= 6xΔx + 3(Δx)² ;

Δy = 6·2·0,001 + 3·0,000001 = 0,012003.

Порівнюючи точне значення Δy з наближеним, бачимо, що абсолютна похибка становить

ε = | Δy – dy | = 0,000003.

Відносна похибка становить:

δ = = ≈ 0,00025 =0,025%.

Відповідь: ε = 0,000003; δ =0,025%.

б) Обчислення наближеного значення функції в точці

При досить малому значенні |Δх| наближена рівність Δf ≈ df або Δy ≈ dy досить точна . Звідси знаходимо

f(x₀+ Δх) – f(x₀) ≈ f '(x₀)·dx;

f(x₀+ Δх) ≈ f(x₀) + f '(x₀)·dx

Приклад 3. Обчислити наближене значення функції y = x¹⁰+5x⁸-3x⁴-2x+1 в точці х = 1,002.

х = х₀+Δх = 1+0,002, х₀ = 1 , Δх= 0,002

f(1,002) ≈ f(1) + f '(1)Δх;

f(1)= 1¹⁰ + 5·1⁸ - 3·1⁴ - 2·1 + 1 = 2;

f '(x) = 10x⁹ + 40x⁷ – 12x³ – 2;

f '(1)= 10·1⁹ + 40·1⁷ – 12·1³ – 2 = 36;

f(1,002) ≈ 2 + 36 ·0,002 = 2,072.

Відповідь : f(1,002) ≈ 2,072.

в) Обчислення наближеного значення степення

Скориставшись, що Δf ≈ df , запишемо формулу

(х₀ +Δх)ⁿ ≈ x₀ⁿ + n x₀^n-1 Δх ;

Приклад 4 . Обчислити (0,997)¹⁰.

(0,997)¹⁰= ( 1- 0,003)¹⁰≈ 1¹⁰ + 10·1⁹·(- 0,003) = 1 – 0,03 = 0,97 .

Відповідь : 0,97

г) Обчислення наближеного значення корення

Запишемо формулу: ≈ + Δх .

Приклад 5. Обчислити .

= ≈ + ·(-0,03) = 2 + (-0,0025)= 1,9975.

Відповідь : 1,9975.