Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1.

Дано вектори :

Знайти а)

б)

в)

г)

Розв‘язання:

Застосуємо правила додавання, віднімання векторів, множення вектора на число.

а)

б)

в)

г)

Вправа 2. Дано два вектори такі, що а кут між ними 45^°. Знайти

Розв‘язання:

Вправа 3. Знайти кут між векторами

Розв‘язання:

Застосуємо формулу:

Вправа 4. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

Розв‘язання:

Знайдемо скалярний добуток векторів: Якщо то тому Отже, при

Завдання для самостійного розв‘язування

Вправа 1. Дано вектори

Знайти: а) б) в)

г) д)

Вправа 2. Знайти кут між векторами

Вправа 3. Знайти периметр трикутника з вершинами

Вправа 4. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

Тема: Означення похідної, її фізичний зміст. Геометричний зміст похідної

План

1. Задачі, що приводять до поняття похідної.

2. Означення похідної функції в точці.

3. Механічний зміст похідної.

4. Геометричний зміст похідної.

Література:

1. Вища математика: Навч. – метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. – К. : КНЕУ, 1999. – с. 125 – 127.

2. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука.1987. § 29.

3. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення похідної функції в точці, в чому полягає фізичний і геометричний зміст похідної.

Студенти повинні вміти: застосовувати фізичний та геометричний зміст похідної для розв‘язування задач.

Задача про миттєву швидкість

Нехай рух тіла описується законом В момент часу тіло пройде шлях , а в момент - шлях Тому за час тіло пройде шлях і середня швидкість руху дорівнює .

Границя середньої швидкості за інтервал часу , коли є миттєвою швидкістю руху.

Задача про дотичну до кривої

Для побудови дотичної до графіка функції в точці потрібно знати кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі Ох.

, де - кутовий коефіцієнт дотичної.

За допомогою ,крім розглянутих ,розв‘язують інші задачі (наприклад, про швидкість хімічної реакції, знаходження лінійної густини неоднорідного стержня, кутової швидкості тіла, що обертається та ін.). Цю границю в математиці називають похідною.

Нехай функція задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до 0, а границя існує.

.

Миттєва швидкість нерівномірного руху є похідною від шляху тобто В цьому полягає механічний зміст похідної.

Задача про дотичну дає змогу з‘ясувати геометричний зміст похідної:

з геометричної точки зору похідна функції у = f(х) в точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка, що проведена в цій точці або тангенсу кута нахилу дотичної до осі ox.

f ' (x₀)= tg α = k_дот.

Знайти похідну функції y = .

y' = ( )' = ·( x⁴- 3x² +5 )' = = = ;

Формули диференціювання

елементарних функцій складних функцій

1. (c )' = 0 , c =const. 1. --------------------------

2. ; 2. --------------------------

3. ( x ⁿ )' = n·x^n-1 ; 3. ( uⁿ )' = n u^n-1·u' ;

4. ( )' = 4. ( )' = · u' ;

5. ; 5. (e ^u )' = e ^u · u' ;

6. ; 6. ( a ^u )' = a ^u · lna · u ' ;

7. ; 7. ( ln u )' = · u' ;

8. ; 8. (log_au )' = · u' ;

9. ; 9. ( sinu )' = cosu · u' ;

10. ; 10. ( cosu )' = - sinu · u' ;

11. _{11. ( tgu )' = · u' ;}

12. ; 12. (ctgu )' = - · u' ; 13. _{13. ( arcsin u )' = · u' ;}

14 . _; 14.( arccos u )' = - · u' ;

15. _{15. (arctg u )' = · u' ;}

16. _{16 ( arcctg u )' = · u' ;}

Приклад 1. Знайти похідну функції

.

Приклад 2 . Знайти похідну функції y = - 9 .

y' = ( - 9 )' = ( )' – 9 ( )' = 4 ( x ^-4 )' – 9 ( x )' = 4 · (- 4 )x ^-4-1 – 9 · x =

= - 16 x ^-5 – 3 x = - -

Приклад 3 . Знайти похідну функції y = 9x³ · ln (x+3)

y' = (9x³ · ln (x+3) )' = (9x³ )' · ln (x+3) + 9x³ · ( ln (x+3) )' = 9 ·3 x² · ln (x+3) +

+ 9x³ · · (x+3)' = 27 x² · ln (x+3) + 9x³ · .

Приклад 4 . Знайти похідну функції :