Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити визначники:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. 

2. Розв‘язати рівняння:

   1. 

   2. 

   3. 

3. Довести, що:

Тема: Розв‘язування вправ по темі “ Елементи лінійної алгебри ”

План

1. Розв΄язування систем лінійних рівнянь методом Крамера.

2. Розв΄язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Література:

1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука.1987

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высш. шк.

Глава 1 §6 ст. 71-73.

3. В.М.Лейфура Математика

§10 ст. 291-295,

§11 ст. 295- 298.

Студенти повинні знати:

поняття матриці, визначника матриці другого і третього порядків, формули Крамера, метод Гауcса.

Студенти повинні вміти:

Обчислювати визначники матриць, розв‘язувати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гаусса.

Розв’язати систему рівнянь методом Крамера

Обчислимо головний визначник системи

=

Обчислимо допоміжні визначники, замінивши відповідний стовпчик при невідомих стовпчиком вільних членів

=

=

=

Знаходимо значення , , за формулами Крамера:

, ,

Перевірка:

Отримали правильні числові рівності. Отже, система розв’язана вірно.

Відповідь: (1;1;-1)

Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса

Розв’язання:

Розширена матриця системи має вигляд:

Виконаємо елементарні перетворення над рядками матриці.

Третій рядок помножимо на (-3) і додамо до елементів першого рядка, а потім помножимо на (-2) і додамо до другого рядка, одержимо:

Поділимо елементи другого рядка на (-3):

Помножимо елементи другого рядка на 7 і додамо до елементів першого рядка, отримаємо:

Скорочуючи елементи першого рядка на і змінюючи порядок запису рядків, одержимо:

Цій матриці відповідає система рівнянь:

Звідси отримаємо розв’язок системи:

Отже, , ,

Відповідь:(1;1;-1)

Завдання для самостійного розв‘язування

Вправа 1. З‘ясуйте, чи мають розв‘язки системи рівнянь.

а)

б)

Вправа 2. При яких значеннях а система має єдиний розв‘язок?

Вправа 3. При яких значеннях а система рівнянь має безліч розв‘язків?

Вправа 4. Пряма задана рівнянням

Чи проходить вона через точку перетину прямих, заданих рівняннями?

Вправа 5.^* Розв‘яжіть систему рівнянь.

Тема: Лінійні операції над векторами в координатній формі. Скалярний добуток і його властивості. Кут між векторами

План

1. Вектор, координати вектора.

2. Лінійні операції над векторами в координатній формі.

3. Скалярний добуток векторів і його властивості.

4. Кут між векторами.

Література:

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1989. Глава 2, § 4,5,6.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высш. шк., 1991. Глава III, § 1,2,3.

3. Конспект лекцій з математики для 1 –го курсу.

Студенти повинні знати: означення вектора, лінійних операцій над векторами, скалярного добутку векторів.

Студенти повинні вміти: виконувати дії над векторами в координатній формі, обчислювати скалярний добуток векторів, кут між векторами.

Вектором називається напрямлений відрізок. Позначається , або .

Якщо задано координати початку та кінця : то

Абсолютною величиною (модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає цей вектор

.

Над векторами можна виконувати дії додавання, віднімання, множення на число.

Сумою векторів і називається вектор

Різницею векторів і називається вектор , який в сумі з вектором дорівнює вектору .

Добутком вектора на число називається вектор

.

Скалярним добутком векторів і називають число .

Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.

З цієї рівності знайдемо косинус кута між векторами:

.

Лінійні операції над векторами в координатній формі

1. Координати вектора А(х_1; у_1; z₁) , B (х_2; у_2; z₂) = ( x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

2. Довжина вектора (модуль (х;у;z) ׀ ׀ =

або абсолютна величина)

3. Відстань між двома А(х_1; у_1; z₁) , B (х_2; у_2; z₂) ׀АВ׀ =

точками

4. Сума векторів (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) + = (х_{1 +} х_2; у₁₊ у_2; z₁₊ z₂ )

5. Різниця векторів (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) − = (х_{1 -} х_2; у_1- у_2; z_1- z₂ )

6. Множення вектора (х₁;у₁;z₁) k· = ( k х₁; k у₁; k z₁ )

на число k- довільне число

7. Скалярний добуток (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) · = ( х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂ )

векторів

8. Кут між векторами (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂)

9.Умова перпендикулярності (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) · = 0

векторів

х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂ = 0

10. Умова колінеарності (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂)

векторів

11. Координати середини А (х₁;у₁;z₁) , В(х_2; у_2; z₂) ;

відрізка AB АС=СВ .