Тема 7. Інтегральне числення функції однієї змінної

18.Первісна. Невизначений інтеграл і його властивості.

19.Визначений інтеграл, його властивості і застосування.

20.Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла.

21.Обчислення довжини дуги кривої і площі поверхні за допомогою визначеного інтеграла,

22.Обчислення об'ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла.

23. Розв'язування фізичних і технічних задач на застосування визначеного інтеграла: шлях при нерівномірному русі, робота змінної сили, сила тиску рідини на поверхню.

23. Невласні інтеграли та їх обчислення.

Тема : Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до

тригонометричної і показникової та навпаки

План

1. Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до

тригонометричної та показникової.

2. Перехід від тригонометричної, показникової форм запису комплексних чисел до алгебраїчної.

Література:

1. Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики»

на тему: « Комплексні числа»

2. Шкіль М. І., Слєпкань З.І. Алгебра і початки аналізу 10-11 кл.

§4 ст. 411-417

3. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука.1981 г.

§3 ст. 26-37

Студенти повинні знати: означення комплексного числа , форми запису комплексних чисел, поняття модуля, головного аргумента , алгоритм переходу від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної

та показникової і навпаки.

Студенти повинні вміти: геометрично зображати комплексні числа на координатній площині, визначати головний аргумент і вміти записувати в різних формах; переходити від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної та показникової і навпаки.

Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної і

показникової та навпаки

Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної і навпаки

z=a + b i , алгебраїчна форма запису комплексного числа .

z =r ( cos φ + i sin φ ), тригонометрична форма запису комплексного числа .

z = re^iφ, показникова форма .

Покажемо як перетворити в тригонометричну форму комплексне число а + bi , подане в звичайній алге­браїчній формі _.

Для цього треба знайти r i φ за даними a i b

Алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми запису комплексного числа:

1.Знайти модуль комплексного числа за формулою: r = .

2.Знайти tg φ₁ допоміжного кута за формулою tg φ₁ = , тоді сам кут буде дорівнювати φ₁=arctg .

3.Зобразити комплексне число на координатній площині і визначити в якій чверті знаходиться кут φ.

4.Якщо кут φ у І чверті , то його значення буде дорівнювати φ= φ₁;

якщо кут φ у І І чверті, то його значення буде дорівнювати φ= π - φ₁;

якщо кут φ у І І І чверті, то його значення буде дорівнювати φ= π + φ₁;

якщо кут φ у І V чверті, то його значення буде дорівнювати φ= 2 π - φ₁.

Кут в гра­дусах	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Кут в радіанах	0					π		2π
sin α	0				1	0	- 1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tg α	0		1		не існ.	0	не існ.	0
ctgα	не існ.		1		0	не існ.	0	не існ.

Приклад 1: Записати число z= 1+i тригонометричній формі.

Розв'язання:

Так як a =1, b =1, то знайдемо модуль :

1. r = .

r = = =

2. Знайдемо tg φ₁ допоміжного кута, tg φ₁ = ,

tg φ₁ = =1→ φ₁ =45˚

3.Зобразимо число z геометрично.

Ми бачимо ,що числу z відповідає вектор, який розміщений в І чверті. Тому за аргумент (кут φ ) приймаємо допоміжний кут φ₁: φ= φ₁= 45˚

4. Так як r = , φ =45˚ або φ = , то тригонометрична форма запису комплексного числа має такий вигляд :

z = 1 + i = (cos 45˚ + sin 45˚ ) або z = 1 + i = (cos + sin )

Відповідь: z = (cos + sin ) .

Приклад 2 : Записати число z =- 2 + 2 i в тригонометричній формі.

Розв'язання:

a=-2, b=2 , тоді

1. r = = = =4.

2. tg φ₁ = , tg φ₁ = = → φ₁ =60˚ =

3. Зобразимо число z геометрично.

Ми бачимо ,що числу z відповідає вектор, який розміщений в І І чверті. Тому

φ = π- φ₁, φ =π- 60˚ = 180˚ - 60˚ =120˚, або φ =π- =

4. z =- 2 + 2 i = 4(cos120˚ + sin120˚) або z =- 2 + 2i = 4(cos + sin )

Відповідь: z = 4(cos + sin ).

Щоб перейти від тригонометричної до алгебраїчної форми запису комплексного числа необхідно :

1)обчислити значення синуса , косинуса кута ;

2) підставити їх в тригонометричну форму ;

3) розкрити дужки .

При обчисленні значень синуса , косинуса кута застосовують формули зведення :

назва функції у формулі зведення не змінюється, якщо до аргументу додати або відняти кут π(180˚), 2π(360˚) ; і змінюється, якщо до аргументу додати або відняти кут (90˚), (270˚). Знак перед зведеною функцією співпадає зі знаком функції що зводиться, вважаючи кут гострим.

Приклад 3 : Запишіть число z =4 (cos +i sin ) в алгебраїчній формі.

Розв'язання:

φ = = =4·60˚ = 240˚

1. Обчислимо значення синуса і косинуса кута:

sin 240˚ = sin(180˚ + 60˚) =- sin 60˚ = - ;

cos 240˚ = cos(180˚ + 60˚) =- cos 60˚= - .

2. Підставимо ці значення в тригонометричну форму і розкриємо дужки :

z =4 (- +(- i ) )= - 2- 2 i.

Відповідь: z = -2 - 2 i

Перехід від алгебраїчної форми до показникової і навпаки

Перехід від алгебраїчної форми запису комплексного числа до показникової здійснюється за тим же самим алгоритмом ,що і перехід до тригонометричної форми запису комплексного числа . Обернений перехід від показникової до алгебраїчної здійснюється через тригонометричну форму.

Приклад 4 : Записати комплексне число z = 8 eⁱ в алгебраїчній формі.

Запишемо це число в тригонометричній формі: r=8, φ= .

z =r ( cos φ + i sin φ ),

z = 8 (cos + i sin ); φ = = =150˚

2. Обчислимо значення синуса , косинуса кута :

cos 150˚ = cos ( 180˚ - 30˚ ) = - cos 30˚ = -

sin 150˚ = sin ( 180˚ - 30˚ ) = sin 30˚ = .

Запишемо , піставивши значення синуса і косинуса :

z = 8 (- + i ) = - 4 + 4 i

Відповідь : z = - 4 + 4i .

Завдання для самостійної роботи

№1-7. Виконайте дії в алгебраїчній формі. Відповідь запишіть в тригонометричній та показниковій формах:

1. 5.

2. 6.

3. 

4. 7.

№8-10. Виконайте дії в тригонометричній формі. Відповідь запишіть в показниковій та в алгебраїчній формах:

8.

9. .

10. .

№11-13. Запишіть комплексне число в тригонометричній та алгебраїчних формах:

11. 12. 13.

Тема: Розв'язування квадратних, двочленних і тричленних рівнянь

План

3. Розв'язування квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом.

4. Розв'язування двочленного рівняння.

5. Розв'язування рівнянь.

Література:

1. Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики»

на тему: « Комплексні числа»

2. П.М.Лейфура. Математика К., 2003р.

§16-§19 стр. 222-228

3. Н.С.Пискунов „Дифференциальное и интегральное исчисления".

Студенти повинні знати: означення двочленного рівняння, формулу кореня n –го степеня з комплексного числа, означення рівності двох комплексних чисел.

Студенти повинні вміти: розв'язувати квадратні рівняння з від'ємним

дискримінантом, використовувати формулу для добування кореня n –го степеня з комплексного числа для розв'язування двочленних рівнянь; розв'язувати рівняння різного типу.

Розвۥязування квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом

В курсі алгебри розглядались квадратні рівняння:

aх² +bх + с = 0, a ≠0 , з дійсними коефіцієнтами а, b, с (1)

Там було показано, що якщо дискримінант

D = b²-4ac рівняння (1) невід'ємний, то розв'язок такого рівняння знаходиться за формулою:

x = . (2)

У випадку, якщо D < 0, говорилось, що рівняння розв'язку не має.

Покажемо, що в множині комплексних чисел рівняння (1) має розв'язок і тоді, коли дискримінант рівняння від'ємний.

• В підручнику алгебри доводилось, що рівняння (1) рівносильне рівнянню

(3)

з якого при D > 0 і отримали формулу (2) для коренів квадратного рівняння.

Нехай D<0. Перетворимо рівняння (3) слідуючим чином:

,

і отримаємо

x= , x =

Отже, якщо дискримінант D від'ємний, квадратне рівняння (1) має два спряжених комплексних кореня:

x₁= , x₂ = (4)

Формули для коренів квадратного рівняння .

Зручно у випадку (якщо D<0) комплексне число позначати через

Наприклад: i =

Тоді для усіх випадків формула для коренів квадратного рівняння буде записуватися у вигляді (2). Таким чином, у множині комплексних чисел рівняння aх² +bх + с = 0, a ≠0 ,a,b,c R завжди має розв'язок.

Якщо D = b²-4ac = 0, то рівняння має один корінь; якщо D ≠ 0, то рівняння має два кореня. У всіх випадках для коренів квадратного рівняння справедлива формула:

x = .

в якій, у випадку D < 0 ,під символом розуміється число

Приклад 1.

Розв'язати рівняння 5х² + 6х + 5 = 0.

Розв'язок:

За формулою знаходимо

x= = ;

з цього слідує,

, .

Відповідь: , .

Приклад 2.

Розв'язати рівняння 2z² + 3z + 3 = 0.

Розв'язок:

За формулою знаходимо

x=

так як, = i , то

, .

Відповідь: , .

Приклад 3.

Розв'язати в множині комплексних чисел рівняння z² + z + 1 = 0.

Розв'язок.

Так як, D = 1 – 4 = - 3, то знайдемо корені

z =

= , = .

Відповідь: , .

Розв'язування двочленного рівняння

Означення: Рівняння виду Xⁿ = A називається двочленним.

Знайдемо корені цього рівняння. Якщо А являється дійсним додатнім числом, то

_{x = , ( k = 0,1,2,…n-1)}

Вираз в дужках дає всі значення кореня n-го степеня з 1.

Якщо А - дійсне від'ємне число, то

X = .

Вираз в дужках дає всі значення кореня n-го степеня з -1.

Якщо А - комплексне число, то значення х знаходиться за формулою:

= (cos

Приклад 1.

Розв'язати рівняння x⁴ = 1.

Розв'язок.

х = = cos(

Приймаючи k рівним 0, 1, 2, 3 отримаємо:

Приклад 2.

Знайти yci значення кубічного кореня з одиниці

Розв'язок:

Подамо одиницю в тригонометричній формі:

1 = cos0 + isin0.

За формулою отримаємо:

= = cos

Приймаючи к рівним 0, 1, 2 знаходимо три значення кореня:

Враховуючи те, що

cos(

sin( ,

cos(

sin(

отримаємо

х₁=1, х₂ = x₃= .

Відповідь: х₁=1, х₂ = x₃= .

Розв'язування рівнянь

Приклад 1.

Розв'язати рівняння Z ² + 𝗅Z𝗅 = 0.

Розв'язок.

Нехай z = х + іу. Тоді дане рівняння запишеться у вигляді

(х + іу)² + = 0,

звідки

(х² - у² + )+ 2хуі = 0.

Комплексне число рівне нулю тоді і тільки тоді, коли його дійсна і уявна частини рівні нулю; тому для знаходження невідомих х і у отримаємо систему:

З цієї системи знаходимо: х=0 або у=0.

При х=0 перше рівняння системи запишеться у вигляді

- +𝗅у𝗅 = 0

або 𝗅 = 0. Звідси знаходимо 𝗅y𝗅 = 0 або 𝗅y𝗅 = 1

Таким чином, числа являються розв'язками даного рівняння.

При у=0 для знаходження х отримуємо рівняння x ² + 𝗅x𝗅 = 0.

Звідси слідує, що х=0, і тим самим z=0.

Таким чином, коренями даного рівняння являються числа

z_l =0,z₂ =i,z₃ =-і.

Відповідь: z_l =0,z₂ =i,z₃ =-і.