Приклади для самостійного розв‘язування:
Знайти частинні розв'язки рівнянь:
1. ds = (4t-3)dt, якщо при t=0 s=0.
2 dx = (2t²-5)dt, якщо при t=1 x=-4.
3. x dx = dy, якщо при x=1 у=0.
4. x dx= y dy, якщо при x=2 y=1.
5. x²d x+ y dy = 0, якщо при х=0 у=1.
6. (t-1)dt +s ds = 0, якщо при t=2 s=0.
7.
якщо
при x=1
y=
.
8.
якщо
при х=0 у=2.
9. 2s dt = t ds, якщо при t=1 s=2.
10. х²dy - y²dx = 0, якщо при х=0,2 у=1.
11.
х³dy
= y³dx,
якщо при х=
у=
.
12.
якщо
при х=0 у=0.
13. dy + x dx =2 dx, якщо при х=1 у=1,5.
14
.
якщо
при х=-1 у=1.
15. (t+1)dx = 2x dt, якщо при t=1 x=4.
16.
якщо
при х=0 у=0.
17.
,
якщо при х=0 у=1.
18.
,
якщо
при х=0 у=3.
19.
,
якщо
при х=0 у=1.
20.
,
якщо
при х=0 у=1.
21.
,
якщо
при х=5
у=0.
22.
,
якщо
при х=
у=
.
23.
, якщо
при х=0 у=4.
24.
,
якщо
при х=0 у=1.
25.
якщо
у=2
при
х=1
Знайти загальний розв'язок рівнянь:
26.
27. (ху² + х)dx + (x²y - y)dy = 0
28. (у - х²у)dy + (x + xy²)dx = 0.
29. (1+x²)dy - (xy + x)dx = 0.
30. y dx + ( 1 - y)x dy = 0.
31. x²dy + (y -1)dx = 0.
32. 2(xy + y)dx = x dy.
33. (x²+1)dy = y dx.
34. x²y' - 2xy = 3y.
35.
Написати
рівняння
кривої , яка проходить через точку А
(1;2),
якщо кутовий коефіцієнт дотичної в
кожній її точці дотику дорівнює
36.
Написати
рівняння
кривої , яка проходить через точку А
(2;1),
якщо кутовий коефіцієнт дотичної в
кожній її точці дотику дорівнює
37. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку А(3;1) і має дотичну, кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2х-1.
38 . Написати рівняння кривої, яка проходить через точку А( 4;3), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці дотику.
39.
Написати
рівняння
кривої , яка проходить через точку А
(1;3),
якщо кутовий коефіцієнт дотичної в
кожній її точці дотику дорівнює
Тема: Розв΄язування вправ
План
1. Розв'язування однорідних та лінійних диференціальних рівнянь 1 – го порядку.
Література:
1. Методична розробка «Диференціальні рівняння»
2. И.Л. Зайцев Элементы высшей математики. § 124-125 ст 328-335.
Студенти повинні знати: означення однорідних та лінійних диференціальних рівнянь; суть методів їх розв’язування
Студенти повинні вміти: розв’язувати однорідні та лінійні диференціальні рівняння.
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Означення: Рівняння виду P dx + Q dy = 0, (1)
де Р і Q- однорідні функції, х і у однакового степеня, називаються однорідним диференціальним рівнянням першого порядку.
Для
інтегрування таких рівнянь проводять
заміну змінних, покладаючи
,
тобто
.
Ця
підстановка зводить до диференціального
рівняння відносно
і
,
в якому змінні відокремлюються, після
чого можна інтегрувати.
Для
отримання кінцевої відповіді потрібно
змінну
замінити на
Приклад
Розв'яжіть рівняння 
(2)
Розв'язування
Зведемо рівняння (2) до виду (1), помноживши обидві його частини на dx:
отримаємо:
;
або
у²dx + (x²-xy)dy = 0. (3)
У рівнянні (3)
Р = у² і Q = x² - xy
Як бачимо , Р і Q - однорідні функції х та у, причому обидві функції другого степеня ; тому рівняння (2) однорідне.
Із
рівняння (3)
знайдемо 
:
/( -1)
(4)
Нехай
(5)
де
z-
нова функція х.
Знайшовши z,
ми отримаєм із рівності (5) шукану функцію
Для
пошуку z
продиференціюємо по х
рівняння (5), застосувавши правило
похідної 
:
,
де
,
а
, 
тоді запишемо
(6)
Підставимо у рівняння (4) значення у і dy , взяті з рівняння (5) і (6)
(4)
одержимо
.
В одержаному рівнянні розділимо змінні:
домножимо
обидві частини рівняння на 
домножимо
обидві частини рівняння на
:
або
Відокремивши змінні у рівнянні, проінтегруємо його обидві частини:
.
В результаті інтегрування отримаємо:
,
(7)
де
С запишемо як 
,
Тепер рівняння набуде вигляду
,
С,
або
(8)
Із
рівності (5) знаходимо 
:
Замінивши у рівнянні (8) z знайденим його значенням, отримаємo
або
(9)
Рівняння - загальний розв'язок рівняння (2).
Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.
Лінійні диференціальні рівняння
Означення: Лінійними диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, які містять невідому функцію і її похідну тільки в першій степені.
Такі рівняння мають вигляд:
або
Якщо
то рівняння
називається лінійним рівнянням без
правої частини.
Для
розв’язування лінійних рівнянь
користуються підстановкою
де
і
-- деякі функції від
:
тобто, розкладається
на два множника.
Маємо
на увазі, що ця операція не повністю
визначена. Наприклад, якщо
то цю функцію можна розкласти на множники
багатьма способами:
і
т.д.
Через це, покладаючи один із множників можна вибрати довільно.
Розглянемо розв’язування лінійних рівнянь на прикладах.
Приклад
Розв’язати
рівняння
Розв'язування
Тут
-- рівняння лінійне; отже
тоді
замінюючи
і
їх значеннями, отримаємо:
Виносячи в другому і третьому доданках з а дужки, рівняння перепишемо так:
Виберемо так, щоб вираз в дужках перетворився на нуль. Це справедливо, так як співмножник в рівності беремо довільно.
Нехай
розділяємо змінні, маємо:
довільну змінну С можна не писати (в даному випадку беремо змінну, рівну 0).
Тепер рівняння набуде вигляду
,
,
.
(Тут
С писати
обов’язково, інакше
вийде
не загальний
розв'язок ,
а
частинний ).
Тепер
знайдемо шукану функцію, пам’ятаючи,
що
або
Відповідь: