Завдання для самостійного розв‘язання
1)
2)
3)
4)
Тема: Розв΄язування вправ на інтегрування функцій.
План
1. Інтегрування частинами.
2. Інтегрування раціональних функцій.
Література:
1. В.М.Лейфура Математика , Київ 2003р. §11 ст. 510-512.
2. Вища математика: Навч. – метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. – К. : КНЕУ, 1999. – П 7.1.10. с. 251 – 253.
Студенти повинні знати: формулу інтегрування функцій частинами та суть методики інтегрування раціональних функцій.
Студенти повинні вміти: розв’язувати вправи на інтегрування функцій частинами і інтегрувати раціональні функції.
Тема: Розв΄язування вправ
План
1. Розв'язування диференціальних рівнянь з відокремленими змінними і змінними, що
відокремлюються.
Література:
1. Методична розробка «Диференціальні рівняння»
2. И.Л. Зайцев Элементы высшей математики. ст 322-325.
Студенти повинні знати: означення диференціальних рівнянь з відокремленими змінними і змінними, що відокремлюються.
Студенти повинні вміти: знаходити загальні та частинні розвязки диференціальних рівнянь з відокремленими змінними і змінними, що відокремлюються.
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
Означення: Диференціальні рівняння вигляду
M(x) dx +N(y)dy=0 (1)
називаються диференціальними рівняннями з відокремленими змінними.
Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
∫M(x)dx + ∫N(y)dy=C (2)
і розв’язок задачі Коші з початковими умовами х = х0, у = у0 має вигляд
(3)
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними зводяться до знаходження інтегралів.
Приклад 1:
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
Розв'язування
Це є рівняння з відокремленими змінними
Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
Інтегруючи, одержимо
Відповідь:
Приклад
2
. Розв'язати
рівняння
Розв'язування
Це є рівняння з відокремленими змінними
Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо
отримаємо
або
Так
як С довільна величина, то можна позначити
2С через
,
взявши до уваги, що ліва частина рівності
додатня.
Тоді
рівняння прийме вигляд:
Це і є загальний розв'язок або, як говорять, загальний інтеграл даного диференціального рівняння.
З геометричної точки зору ми отримали сімейство (сукупність) концентричних кіл з центром в початку координат і радіусом, рівним С.
(Зрівняйте
отримане рівняння з відомим рівнянням
кола вигляду:
Відповідь:
Приклад
3.
Розв'язати
рівняння
Розв'язування
Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо:
отримаємо:
або
довільну
змінну С можна позначити через
тоді
Подамо в правій частині рівняння суму логарифмів в вигляді логарифма добутку
звідки
Це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння.
З геометричної точки зору ми отримали рівняння сукупності прямих, центром яких є точка М(1;-1) з кутовим коефіцієнтом С.
Відповідь:
Диференціальні рівняння першого порядку з
відокремлювальними змінними
Якщо кожна частина диференціального рівняння являє собою добуток деякого виразу, залежного від однієї змінної, на диференціал цієї змінної, то говорять, що змінні у рівнянні відокремлені;
наприклад, x dx = y dy.
В цьому випадку рівняння можна інтегрувати почленно.
Означення: Рівняння, в яких змінні розділяються, називаються диференціальним рівнянням з відокремлювальними змінними.
Для того щоб розв'язати диференціальне рівняння з відокремлювальними змінними, потрібно відокремити змінні, а потім взяти інтеграл від обох частин рівняння.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 4 . Розв'язати диференціальне рівняння x dy = y dx
Знайти загальний і частинний розв'язки, якщо при х=5 , у =10.
Розв'язування
Це рівняння з відокремлювальними змінними.
Для відокремлення змінних обидві частини рівняння поділимо на вираз ху, одержимо:
.
Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, знайдемо
,
або
ln│y│=ln│x│+ln │C│.
(В правій частині стале C подамо у вигляді ln │C│ для зручності потенціюваня. ) Потенціюючи рівність, отримаємо:
│у│=│Cx│,
або у = ± Сх.
Одержали загальний розв'язок рівняння в вигляді
y = Сх
(знаки ± можна опустити, оскільки С довільна стала).
Для знаходження частинного розв'язку рівняння знайдемо значення сталого С, підставивши в одержане рівняння початкові умови: х=5 та у=10
10 = 5С,
звідси
С=2.
Отже,
y =2х. - частинний розв'язок.
Відповідь: y = Сх - загальний розв'язок рівняння;
y =2х. - частинний розв'язок.