Завдання для самостійного розв‘язування. Обчислити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, що обмежена лініями:

1) навколо осі ,

2) навколо осі .

Тема: Розв‘язування фізичних і технічних задач на застосування визначеного інтеграла

План

1. Шлях при нерівномірному русі.

2. Робота змінної сили.

3. Сила тиску рідини на поверхню.

Література:

1. ,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева, часть 1– М.: Наука,1987. – § 48.

Студенти повинні знати: формули для обчислення шляху при нерівномірному русі, роботи змінної сили, сили тиску рідини на поверхню за допомогою визначеного інтеграла.

Студенти повинні вміти: розв‘язувати фізичні задачі за допомогою визначеного інтеграла.

Шлях пройдений матеріальною точкою, яка рухається прямолінійно зі швидкістю обчислюється за формулою:

(1).

Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається під дією змінної сили напрямленої вздовж осі Робота змінної сили при переміщенні тіла з точки в точку дорівнює:

(2).

Сила тиску на вертикально занурену в неї пластину, яка має форму криволінійної трапеції, що відповідає графіку функції обчислюється за формулою.

(3)

де – прискорення вільного падіння, – густина рідини.

Приклади розв‘язування задач

Задача 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за четверту секунду руху.

Розв‘язання.

За формулою (1):

Задача 2. Знайти силу тиску масла(густина масла ) на вертикальну стінку, яка має форму півкруга радіусом діаметр якого знаходиться на поверхні масла.

Розв‘язання:

Виберемо систему координат так, як показано на рисунку.

Так як стінка являє собою півкруг, радіус якого а центр розміщений в початку координат, то

Для обчислення сили тиску масла скористаємось формулою (3).

Задача 3. Яку роботу потрібно виконати, щоб розтягнути пружину на 0,05м, якщо сила в 1Н розтягує її на 0,01м?

Розв‘язання:

За законом Гука сила, яка розтягує пружину, де – величина розтягу, – коефіцієнт пропорційності.

Отже, і

Роботу, яку необхідно виконати, обчислимо за формулою (2):

Задача 4. Обчислити тиск на греблю, що має має форму рівнобічної трапеції, верхня основа якої , а нижня – висота

Розв‘язання:

Р

озмістимо координатні осі так, як зображено на рисунку.

Щоб застосувати формулу (3), потрібно написати рівняння За побудовою тому

Запишимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:

Тоді

Для води а

Тому

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Швидкість руху матеріальної точки змінюється за законом Знайти шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

2. Яку роботу виконує сила у 8Н при розтягуванні пружини на 6 см?

3. Обчислити силу тиску на одну із стінок акваріуму, довжина якого 30 см, висота – 20 см.

Тема: Невласні інтеграли та їх обчислення

План

1. Означення невласного інтеграла.

2. Збіжні та розбіжні інтеграли.

3. Геометричний зміст невласного інтеграла.

4. Ознака порівняння збіжності невласних інтегралів.

5. Приклади обчислення невласних інтегралів.

Література:

1. Дифференциальное и интегральное исчисления. Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1972. – Гл. XI, § 7.

Студенти повинні знати: означення невласного інтеграла, геометричний зміст, поняття збіжного та незбіжного інтеграла.

Студенти повинні вміти: обчислювати невласні інтеграли.

Нехай функція визначена і неперервна при всіх значеннях таких, що

Розглянемо інтеграл Він має зміст при будь-якому

Означення: Якщо існує скінченна границя то цю границю називають невласним інтегралом від функції на інтервалі і позначають

Отже, за означенням

Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл

існує або є збіжним.

Якщо при не має скінченної границі, то говорять, що

не існує або є розбіжний.

Геометричний зміст невласного інтеграла

Невласний інтеграл виражає площу нескінченної області, обмеженої лініями віссю абсцис.

Аналогічно визначаються інші невласні інтеграли:

Ознака порівняння збіжності невласних інтегралів:

Нехай Тоді:

1. Якщо невласний інтеграл збіжний, то збіжним є і невласний інтеграл при цьому

2. Якщо невласний інтеграл розбіжний, то розбіжним є і невласний інтеграл

Розглянемо приклади обчислення невласних інтегралів

Приклад 1. Обчислити інтеграли.

Приклад 2. З‘ясувати при яких значеннях інтеграл є збіжним, при яких розбіжним.

При

За означенням невласного інтеграла

Якщо то інтеграл збіжний.

Якщо то інтеграл розбіжний.

Якщо то інтеграл розбіжний.