Завдання для самостійного розв‘язування

Обчислити визначені інтеграли :

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

Тема: Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла

План

1. Криволінійна трапеція.

2. Площа криволінійної трапеції.

3. Формула Ньютона-Лейбніца.

4. Приклади обчислення площ плоских фігур.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К. : КНЕУ, 1999. - с. 271-273.

Студенти повинні знати: поняття криволінійної трапеції, геометричний зміст визначеного інтеграла, формулу Ньютона-Лейбніца, таблицю інтегралів.

Студенти повинні вміти: обчислювати площі плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла.

Означення: Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена лініями

1)Площа криволінійної трапеції дорівнює

Для обчислення визначеного інтеграла застосовують формулу Ньютона-Лейбніца:

2. Якщо то .

2. Якщо фігура обмежена лініями – неперервна, то площа фігури

4. Якщо то

5) Якщо фігура обмежена лініями і – неперервні функції, та для то площа фігури обчислюється за формулою:

Приклади обчислення площ плоских фігур

1) Обчислити площу фігури, обмежену лініями Зобразимо фігуру, площу якої потрібно обчислити.

2) Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями

Зобразимо дану фігуру на координатній площині. Для цього накреслимо графік функції

Отже, точка є вершиною параболи; точка – точка перетину з віссю

, тому точок перетину з віссю немає. Вімки параболи напрямлені вгору.

Дана фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площа дорівнює:

3) Обчислити площу фігури, обмеженої лініями Зобразимо фігуру, обмежену даними лініями.

Знайдемо абсциси точок перетину графіків, які будуть межами інтегрування.

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями.

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

Тема: Обчислення довжини дуги кривої і площі поверхні за допомогою визначеного інтеграла

План

1. Означення неперервної плоскої кривої та дуги кривої.

2. Обчислення довжини дуги кривої.

3. Поняття поверхні обертання, площі поверхні.

4. Обчислення площі поверхні обертання.

Література:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: – М.:Высш. шк., 1990 – гл. 13, § 6.

2. Пискунов Н. С. Диференциальное и интегральное исчисление: – М.: Наука, 1972. гл. 12, § 3,6.

Студенти повинні знати: поняття плоскої кривої та дуги кривої, поверхні обертання, формули для обчислення довжини дуги кривої та поверхні тіл обертання.

Студенти повинні вміти: обчислювати довжину дуги кривої та поверхні тіла обертання за формулами.