Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1. Довести, що функція є первісною для функції на вказаному

проміжку.

1)

Знайдемо похідну функції

при всіх

2)

для всіх дійсних чисел, крім

Вправа 2. Знайти загальний вигляд первісної для функції на

1)

2)

Вправа 3. Знайти первісну функції, графік якої проходить через задану точку.

Отже,

Вправа 4. Знайти невизначені інтеграли.

1)

2)

3)

4)

Приклад 1. Знайти інтеграл і результат перевірити диференціюванням:

.

Розв’язання:

Скориставшись властивістю 3 невизначених інтегралів і табличним інтегралом 3, дістанемо

= = .

Перевірка:

( )′ = = х³ + х² - = х³ + х² - .

Відповідь: = .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Скориставшись властивістю 3 невизначених інтегралів і табличними інтегралами 7 і 5, маємо.

= = - cosx + .

Відповідь: = - cosx + .

Приклад 3. Знайти інтеграл .

Розв’язання:

= 10 .

Відповідь: = .

Приклад 4. Знайти інтеграл .

Розв’язання:

= = = .

Відповідь: = .

Приклад 5. Знайти інтеграл .

Розв’язання:

Подамо підінтегральну функцію,розділивши почленно, у вигляді суми функцій:

.

Використаємо властивості 3 і 4 невизначених інтегралів і табличний інтеграл 3, одержимо

= .

Відповідь: = .

Приклад 6,7. Знайти інтеграли , .

Розв’язання:

Використаємо табличний інтеграл 13, одержимо

= sin3x + C.

= e^2x-3 + C.

Відповідь: = sin3x + C ; = e^2x-3 + C.

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Знайти множину всіх первісних функцій.

   1. 

   2. 

2. Знайти невизначені інтеграли.

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

Тема: Визначений інтеграл та його властивості

План

1. Означення визначеного інтеграла.

2. Властивості визначеного інтеграла.

Література:

1.Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища

математика" (К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова, О.І.Лютий та ін.) ст.265-268.

2.Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.

Студенти повинні знати: означення визначеного інтеграла, та його властивості.

Студенти повинні вміти: застосовувати властивості визначеного інтеграла до знаходження інтегралів.

Визначений інтеграл і його властивості

Розглянемо на відрізку [а,b] деяку неперервну функцію у = f(x) Розіб'ємо відрізок [а,b] довільним чином на п частин точками: а = х₀ <х₁ <х₂ <...<х_i-1 < х_i <...<x_n =b

Довжину кожного часткового відрізка позначимо х_i= х_i –х_i-1 (і = 1...n)

На кожному з відрізків розбиття виберемо довільним чином точки .

, (i=1…n).

Обчислимо f( ) - значення функції f(x) в цих точках.

Складемо суму S_n =

Ця сума називається інтегральною сумою функції f(х) на [а,b]

Позначимо через довжину найбільшого часткового відрізка розбиття: = max х_i

Означення: Визначеним інтегралом функції f(х) на відрізку [а;b] наз. скінченна границя інтегральної суми S_n за умови, що довжина найбільшого часткового відрізка розбиття прямує до нуля ( = max х_i -> 0), яка не залежить від способу розбиття та вибору точок і позначається

Означення :

Визначеним інтегралом від заданої функції y= f(x),неперервної на відрізку називається приріст первісної на цьому відрізку.

– формула Ньютона-Лейбніца.

а - нижня межа інтегрування;

b - верхня межа інтегрування;

F(x) - первісна;

F(b) - значення первісної в точці х = b;

F(a) - значення первісної в точці х = a.

Визначений інтеграл від заданої функції це є число.

Щоб знайти визначений інтеграл необхідно:

1. знайти невизначений інтеграл;

2. спростити первісну;

3. підставити замість х верхню межу інтегрування, нижню межу інтегрування і від першого результату відняти другий.

Властивості визначеного інтеграла

1. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

2. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить свій знак на протилежний,тобто

.

3. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів:

.

4. Сталий множник можна винести з-під знака визначеного інтеграла, тобто

.

5. Проміжок інтегрування у визначеному інтегралі можна розбити на частини:

.

6. Якщо f(x) i g(x) – інтегровні та f(x) ≥ g(x) для х є , b > a, то

.

Приклад 1. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання:

= =

= .

Відповідь: = 6.

Друга форма запису:

= .

Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання :

= =

= .

Відповідь: = 16.

Метод підстановки у визначеному інтегралі

Метод підстановки у визначеному інтегралі аналогічний методу підстановки у невизначеному інтегралі з тією різницею,що,виконуючи заміну, необхідно знаходити нові межі інтегрування.

Приклад 3. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання :

Зробимо заміну змінної.

Нехай sinx = t. Тоді cosxdx = dt. Знайдемо нові межі інтегрування :

х_н = 0; t_н = sin0 = 0.

х_в = ; t_в = sin = 1.

= .

Відповідь: = .

Приклад 4. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання :

=

= .

Відповідь: = .

Приклад 5. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання :

= .

Відповідь: = .

Приклад 6. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язання :

= .

Відповідь: =