Завдання для самостійної роботи

Знайти найменше та найбільше значення функції z = f(x;y) в замкненій області Д що задана системою нерівностей. Зробити малюнок.

1) z = x-2y² D: 0 х 1, 0 у 2

2) z = ху - х - 2у D: х З, у х,у 0

Тема: Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості

План

1. Означення первісної.

2. Теорема про множину первісних.

3. Означення невизначеного інтеграла.

4. Властивості невизначеного інтеграла.

Література:

1. ,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука,1987. § 41.

2. Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.

Студенти повинні знати: означення первісної функції, невизначеного інтеграла, властивості та таблицю невизначених інтегралів.

Студенти повинні вміти: знаходити первісні функцій, невизначені інтеграли.

Інтегрування – це знаходження функції по відомій її похідній.

Наприклад: f(x) = 5x⁴ , F(x) = x⁵;

f(x) = cosx, F(x) = sinx;

f(x) = e^x, F(x) = e^x, де F(x) – це первісні.

Означення: F(x) називається первісною для функції f(x),

якщо для всіх значень х з області визначення функції виконується рівність:

F′(x) = f(x).

Операція інтегрування неоднозначна , тобто, якщо для f(x) існує первісна , то їх нескінченно багато.

Загальний вигляд первісної:

F(x) + С, де C- const.

Означення: Сукупність усіх первісних y = F(x) + С для функції y = f(x) на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається символом :

= F(x) + С .

.

Властивості невизначених інтегралів

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

( )′= (F(x) + С )′ = F ′(x) +( С )′ = f(x) + 0 = f(x).

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу. Справді,

d( ) = d(F(x) + С ) = (F(x) + С )′ dx = f(x)dx.

3. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від цих функцій, тобто

dx = dx ± dx.

4. Сталий множник можна винести за знак невизначеного інтеграла,тобто

dx = k , k – const.

Основні (табличні ) інтеграли

1. 7. = - cosx + C.

2. = C. 8. = sinx + C.

3. = + C, ( n≠ - 1 ) 9. = - ctgx + C.

4. = = ln ׀x׀ + C. 10. = tgx + C.

5. = + C. 11. = arctgx + C.

6. = e^x + C. 12. = arcsinx + C.

13. = F(kx + b) + C.