Приклади обчислення похідних:

1. Знайти похідну від неявної функції в точці

Якщо то

2. Знайти якщо

В даному випадку

Знайдемо

, ,

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Знайти якщо

2. Знайти якщо

Тема: Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

План

1. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

2. Розв'язування вправ.

Література:

1. Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни "Вища математика" (К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова, О.І.Лютий та ін.) ст.203-204.

2. Методична розробка з дисципліни « Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: правило знаходження найменшого та найбільшого значення функції в замкненій області.

Студенти повинні вміти: знаходити найменше та найбільше значення функції в замкненій області.

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Якщо функція неперервна на замкнутій обмеженій множині D то вона досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона приймає або в точках екстремума або на межі області. Для того, щоб знайти найбільше та найменше значення в замкненій області, необхідно:

1. Знайти стаціонарні точки, які розташовані в даній області.

2. Обчислити значення функцій в цих точках.

3. Знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що утворюють межу області.

4. Із всіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше.

Приклад.

Знайти найменше і найбільше значення функцій z = x³ + у³ -3ху в замкненій області D, що задана системою нерівностей 0 х 2;-1 у 2

Зробити малюнок.

Розв'язання:

Область D - прямокутник ABCD

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області досягається в стаціонарних (критичних) точках або на межі області. Знайдемо частинні похідні і складемо систему рівнянь для знаходження стаціонарних точок:

Розв'язуючи систему, знаходимо дві стаціонарні точки O(0;0),Р(1;1)є D. Значення функції в цих точках z₀ =0, z_p =1

Дослідимо функцію на межі області:

а) На АВ (х=0) маємо z = y³ у [-1;2].

z' = 3y² 3y²=0 y = 0

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка z_A = -1 z_B = 8.

б) На ВС (у=2) маємо z = х³ + 8 - 6х х є [0;2]

z' = 3x² -6; z' = 0=>3x² -6 = 0

х,= М( )

х2 =

тоді z_M = 8 - ; z_c = 4

в) На CD (х=2) маємо z = у³ + 8 - by

Знайдемо значення цієї функції в стаціонарній точці і на кінцях відрізка [-1;2].

z' = 3y²-6 z' = 0=>3y² -6 = 0

y²=2 y,=

y₂ =

Одержали

N(2; )

Z_N=8-4 Z_D=13

г)На AD (y=-1) маємо z = x³-1+3x x

z_D=13

Порівнюючи отримані значення функції, встановлюємо, що z_max =13 в точці D(2;-l)

z_min= -1 в точках P(l;l) А(0;-1)

Відповідь: z_max=13, z_min =-1