Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1. Знайти область визначення функції:

Розв‘язання:

Складемо систему:

Нерівність розв‘язуємо методом інтервалів.

Отже, – область визначення даної функції.

Вправа 2. Знайти множину значень функції

Розв‘язання:

Виразимо змінну через

тому, – множина значень функції.

Вправа 3. Знайти границі функції:

а)

б)

Вправа 4. Дослідити функцію на неперервність в точці .

Розв‘язання:

Знайдемо область визначення функції:

Отже, число 3 не належить області визначення функції, тому в цій точці вона не є неперервною.

Завдання для самостійного розв‘язування:

1. Знайти границі функцій:

а) б) в)

2. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують.

а) б)

2. Знайти область визначення функції:

а) б)

Тема: Частинні похідні та повний диференціал вищих порядків функції двох змінних

План

1. Частинні похідні вищих порядків.

2. Диференціали вищих порядків.

3. Приклади знаходження частинних похідних і диференціалів вищих порядків.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К. : КНЕУ, 1999. - с. 192.

2. Методична розробка з дисципліни « Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: означення частинних похідних і диференціалів другого, третього та вищих порядків.

Студенти повинні вміти: обчислювати частинні похідні та повні диференціали вищих порядків.

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини Візьмемо довільну точку в ній існують частинні похідні першого порядку

Вони залежать від і , тобто є функціями двох змінних. Тому можна знаходити їх частинні похідні. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначають:

або або

або або

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад,

Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціалу, тобто

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:

Приклади розв‘язування вправ

1. Знайти якщо

2. Знайти для функції

Приклади для самостійного розв‘язування:

1. Знайти частинні похідні другого порядку функції якщо:

а)

б)

2. Знайти диференціал другого порядку функції якщо:

а)

б)

Тема: Похідна неявної функції

План

1. Поняття про похідну неявної функції двох змінних.

2. Приклади обчислення похідних неявних функцій.

Література:

1. Вища математика: Навч. - метод. Посібник для самост. вивч. дисц. / К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова та ін. - К. : КНЕУ, 1999. - с. 193-194.

2. Методична розробка з дисципліни « Основи вищої математики» на тему: «Функції багатьох змінних».

Студенти повинні знати: означення неявної функції та формулу для знаходження похідної неявної функції.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідні неявних функцій.

Якщо існує неперервна функція однієї змінної така, що відповідні пари задовільняють умову то ця умова називається неявною формою функції .

Сама функція називається неявною функцією, яка задовільняє умову

Нехай неперервна функція задана в неявній формі і Похідна знаходиться за формулою:

Частинні похідні функції двох незалежних змінних яка задана за допомогою рівняння де – диференційовна функція змінних можуть бути можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що