Приклади розв‘язування задач
Задача 1.
Маховик за час
повертається на кут
Знайти кутову швидкість
в кінці третьої секунди.
Знайти момент, коли припинеться обертання.
Розв‘язання:
,
тому
Якщо
то
(рад/с).
Обертання припиняється
в момент коли
тобто
.
Задача 2.
Кількість електрики, що протікає через
провідник, починаючи з момента часу
задається формулою
Знайти силу струму в кінці шостої
секунди.
Розв‘язання:
Сила
струму є похідною кількості електрики,
Якщо
то
Задача 3.
Кількість теплоти
,
яку отримує деяка речовина при нагріванні
її від 0 до
визначається за формулою
Знайти теплоємність цієї речовини при
100К.
Розв‘язання:
Теплоємність
є похідною кількості теплоти по часу.
Якщо
то
(Дж/К).
Задача 4.
Закон зміни температури
тіла з часом задано рівнянням
З якою швидкістю нагрівається це тіло
в момент часу 10 с?
Розв‘язання:
Швидкість нагрівання тіла є похідною температури по часу .
Якщо
то
(град/с).
Задачі для самостійного розв‘язування
Знайти силу струму
в момент часу
якщо
Температура тіла змінюється з часом за законом
З якою швидкістю нагрівається тіло в
момент часу
Точка рухається прямолінійно за законом
Знайти миттєву швидкість точки:в початковий момент часу
;через 5с після початку руху;
в момент часу
Тема: Домашня розрахункова робота по темі
« Похідна функції та її застосування»
План
1. Варіанти завдань домашньої розрахункової роботи по темі « Похідна функції.
2. Методичні вказівки щодо виконання розрахункової роботи.
Література:
1. . Методична розробка з теми "Похідна функції та її застосування"
та зразки їх виконання.
2. А.А.Дадаян, І.А.Новік Алгебра і початки аналізу. Мінск, 1980р.
3. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.Наука, 1964г.
4. К.Г.Валєєв, І.А.Джалладова Вища математика . Київ,1999р.
5. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик Математика. Москва,1991г.
6. Н.В.Богомолов Практические занятия по математике. Москва,1990г.
Таблиця варіантів
I
Знайти границі функцій:
1.
а) 
; b)
.
2.
a) 
;
b)
.
3.
a) 
; b)
.
4.
a) 
; b)
.
5.
a) 
; b)
.
6.
a) 
; b) 
.
7.
a) 
; b) 
.
8.
a) 
; b) 
.
9.
a) 
; b) 
.
10.
a) 
; b) 
.
11.
a) 
; b) 
.
12.
a) 
; b) 
.
13.
a) 
; b) 
.
14.
a) 
; b) 
.
15.
a) 
; b) 
.
II
Знайти похідні таких функцій:
1.
a)
y= x
; b) y =(
;
c) y –cos(x+y) = 0.
2.
a) y = arctg(
;
b) y =(
;
c) x – y + asiny = 0.
3.
a) y = 
;
b) y = 2
;
c) tgy = 4y-5x.
4.
a) y = 
;
b) y = 
;
c) 
- 3y + 2ay = 0.
5.
a) y = 
;
b) y = (
;
c) 
.
6.
a) y = cos2x
;
b) y = 
;
c) ysinx – cos(x – y) = 0.
7.
a) y = 
;
b) y = (ln(
;
c) 
.
8.
a) y = 
;
b) y = (
;
c) 
.
9.
a) y = 
;
b) y =(
;
c) x – y = arcsinx – arcsiny.
10.
a) y = 
;
b) y = (
;
c) 3y = 7 + x
.
11.
a) y = 
;
b) y = 
;
c) x – y + arctgy
= 0.
12.
a) y = 
;
b) y = (
;
c) x – y + 
.
13.
a) y = arcsin
;
b) y = 
;
c) lny - 
.
14.
a) y = 
;
b) y = (
;
c) 2ylny = x.
15.
a) y= lnsin(2x + 3); b) y = (
;
c) y = 1 + x
.
III
Знайти похідні функцій що задано параметрично:
1.
8. 
2.
9.
3.
10. 
4.
11. 
5.
12. 
6.
13. 
7.
14.
15.
IV
Знайти
найбільше та найменше значення
функції y
= f(x)
на відрізку 
:
1.
f(x) = 
2.
f(x) = 
3.
f(x) = 
4.
f(x) = 3
5.
f(x) = 
6.
f(x) = 2
7.
f(x) = 
8.
f(x) = 
9.
f(x) = 3 - 2
10.
f(x) = x - 
11.
f(x) = (1 - 
12.
f(x) = - 
13.
f(x) = (
14.
f(x) = 
15.
f(x) = 
V
Дослідити функцію методами диференціального числення та використовуючи результати дослідження, побудувати її графік.
1.
y = 
2.
y = 
3.
y = 
4.
y = 
5.
y = 
6.
y = 
7.
y = 
8.
y = 
9.
y = 
10.
y = 
11.
y
= 
12.
y
= 
13.
y
= 
14.
y
= 
15.
y
= 
Тема: Функції, способи їх задання, область визначення, границя та неперервність
План
Означення функції.
Область визначення та множина значень функції.
Способи задання функції.
Поняття про границю функції в точці.
Правила обчислення границь.
Означення неперервної функції.
Література:
,, Алгебра и начала анализа “. Под ред. Г.Н. Яковлева, часть 1. – М.: Наука,1998. Гл. 4, § 13.
Конспект лекцій з математики для 1- го курсу.
Студенти повинні знати: означення функції, її області визначення і множини значень, способи задання функцій, означення неперервної функції.
Студенти повинні вміти: знаходити область визначення функцій, досліджувати функції на неперервність, будувати графіки функцій.
Означення: Функцією називається залежність змінної від змінної , при якій кожному значенню відповідає єдине значення
Позначають
функцію за допомогою рівності
Змінну називають незалежною змінною або аргументом, а змінну – залежною.
Означення: Множина значень, яких набуває незалежна змінна , називається областю визначення функції.
Означення: Множина відповідних значень залежної змінної , яких вона набуває при всіх значеннях з області визначення функції, називається областю значень.
Основними способами задання функцій є :
Табличний спосіб – в таблиці вказують кілька значень аргументу і відповідні їм значення функції.
Аналітичний спосіб – задається формула, яка виражає залежність змінної від змінної .
Описовий спосіб – наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його куб.
Графічний спосіб – застосовується в тих випадках, коли аналітично задати функцію досить важко.
Розглянемо найбільш важливі моменти, які потрібно враховувати при знаходженні області визначення функції.
№ п/п |
Функція |
Область визначення |
1. |
(многочлен
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
-го
степеня)
Означення:
Нехай функція
визначена в деякому околі точки
,
крім, можливо, самої точки
Число
називається границею функції
в точці
,
якщо для довільної послідовності значень
аргумента
що сходяться до
,
послідовність відповідних значень
функції
прямує до
,
якщо
Теореми про границі:
1)
2)
3)
4)
якщо
Означення:
Функція
називається неперервною в точці
,
якщо границя функції
в точці
існує і дорівнює значенню функції в цій
точці:
Отже, згідно з означенням,
неперервність функції
в точці
означає виконання наступних умов:
функція визначена в точці ;
у функції повинна існувати границя в точці ;
границя функції в точці співпадає з значенням функції в цій точці.