4. Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется вторая формула Муавра:

где - арифметический корень из модуля комплексного числа, k=0, 1, 2,…, n-1

Пример.

Найти

Решение:

Представим число –1 в тригонометрической форме:

По второй формуле Муавра получаем:

Получаем последовательно:

Геометрически все корни n-ой степени из комплексного числа лежат в углах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиуса .

Показательная форма комплексного числа.

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь

Действия над комплексными числами в показательной форме.

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

Решение уравнений с помощью комплексных чисел.

1. Решить квадратное уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах:

_{По известным школьным формулам получаем два корня:}

– сопряженные комплексные корни.

_2. Найти действительные x и y из уравнения:

_{Решение.}

В левой части уравнения раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые слагаемые:

_{Воспользуемся условием равенства комплексных чисел:}

Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока с помощью комплексных чисел.

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно: i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС.

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин: аналитический, временная диаграмма, графоаналитический, аналитический метод с использованием комплексных чисел.

Напомню уравнения для мгновенных значений силы тока, напряжения и ЭДС:

Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС; значение в скобках – фаза (полная фаза); φi, φu, φe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС; ω – циклическая частота, ω = 2π; – частота,  = 1 / T; Т – период.

Расчет линейных электрических схем гармонического (синусоидального) тока в установившемся режиме аналогичен расчету электрических схем постоянного тока. В обоих случаях составляют систему алгебраических уравнений по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа.

Для схем постоянного тока уравнения составляют по действительным значе­ниям напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей. В схемах же гармони­ческого тока для алгебраизации интегрально-дифференциальных уравнений приме­няют комплексные (символические) величины: U, I, Z=R+ jХ (поскольку в электротехнике мгновенное значение силы тока обозначается i, то мнимую единицу обозначают буквой j). При этом все параметры записывают в виде комплексных чисел в алгебраической, показательной или тригонометрической форме. При переходе от интегрально-дифференциальных уравнений дифференцирование мгновенного значения заменяют умножением jω на соответствующую комплексную величину, а интегрирование — делением комплексной величины на jω:

Синусоидальный ток можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости , где амплитуда силы тока Im – модуль комплексного числа, а угол φ являющийся начальной фазой, - аргумент комплексного числа.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока.