Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Действия над комплексными числами определяются таким образом, чтобы для частного случая действительных чисел эти операции совпадали с известными операциями над ними.

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме:

1. Суммой двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

Т.е. чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части.

В частности сумма двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное:

Пример. Найти сумму комплексных чисел

Решение:

Операция сложения легко распространяется на сумму любого конечного числа комплексных чисел.

_2. Вычитание двух комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

В частности разность двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число чисто мнимое:

Пример. Найти разность комплексных чисел

_{Решение:}

₃. Произведением двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

_{Умножение двух комплексных чисел подчиняется правилу умножения многочленов с учетом, что} Действительно,

В частности произведение двух взаимно сопряженных чисел есть число действительное и равно сумме квадратов действительной части и коэффициента мнимой части комплексного числа:

Пример. Найти произведение комплексных чисел

_{Решение:}

_ИЛИ

_{4. Деление комплексных чисел определяется как операция обратная умножению. Частным двух комплексных чисел называется число}

Тот же результат можно получить, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

Пример. Найти частное комплексных чисел

Решение:

Действия над комплексными числами удовлетворяют основным законам сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Однако, между комплексными числами не существует отношения порядка, т.е. понятий «больше» или «меньше».

5. Возведение комплексного числа в степень n рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:

n раз

Найдем натуральные степени мнимой единицы i:

и вообще

Пример.

Найти i⁵⁹.

Решение:

При делении числа 59 на 4 имеем: 59=14∙4+3, поэтому

_{Геометрическая интерпретация комплексного числа.}

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексная плоскость состоит из двух осей: Re z – действительная ось Im z – мнимая ось По осям нужно задать размерность: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу i по мнимой оси. Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Всякое комплексное число изображается на такой плоскости точкой с координатами (a;b). При этом действительные числа изображаются на действительной оси, а чисто мнимые на мнимой оси.

Каждой точке плоскости с координатами (a;b) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(a;b), который называется радиус-вектором. Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке z=0 и концом в точке

0

Определение. Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости, т.е. модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного числа z обозначается или r. По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: .

Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства:

1. Длина вектора равна

2. Точки и симметричны относительно действительной оси;

3. Точки z и –z симметричны относительно точки z=0;

4. Число z₁+z₂ геометрически изображается как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам z₁ и z₂;

5. Расстояние между точками z₁ и z₂ равно

Определение. Аргументом комплексного числа z называется угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки – отрицательной. Аргумент не определён для единственного числа: z=0.

Обозначается аргумент комплексного числа так: φ=arg z или φ=arg(a+bi)/

Аргумент комплексного числа определяется не однозначно; любое комплексное число z≠0 имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2.

Определение. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка -<φ< называется главным значением аргумента.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента и по формулам решения прямоугольного треугольника имеем:

Отсюда получается

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример

Записать число в тригонометрической форме.

Решение:

Найдём модуль этого числа:

Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа равен

Получаем:

_.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Числа в тригонометрической форме не складывают и не вычитают.

Пусть z₁ = r₁(cos φ₁+isinφ₁) и z₂=r₂(cos φ₂+isinφ₂).

1. Произведение комплексных чисел вычисляется по формуле:

_{Пример. Найти произведение комплексных чисел}

_{Решение:}

2. Частное комплексных чисел вычисляется по формуле:

_{Пример. Выполнить деление комплексных чисел.}

_{Решение:}

Т.е. в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся следующим образом: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂, ..., φ_n – аргументы чисел z₁, z₂, ..., z_n, то

3. В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра.

Пример

Дано комплексное число , найти .

Решение:

Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме.

Найдём модуль этого числа:

Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа равен

Получаем:

_.

Тогда, по формуле Муавра:

_Считать на калькуляторе не нужно, а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет 2 радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе .Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Таким образом, окончательный ответ запишется так: _.

Можно убавить еще один оборот и получить главное значение аргумента: