6 Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций , ,
Рассмотрим газодинамические функции, которые используются в уравнениях количества движения газа. Сумму секундного количества движения и силы давления газа в рассматриваемом поперечном сечении потока принято называть полным импульсом потока I.
(2.71)
Если в (2.71) подставить соотношения
и
,
то получим
. (2.72)
После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение (2.72) к виду
, (2.73)
где
.
График газодинамической
функции
для воздуха приведен ниже.
Минимальное
значение функции
соответствует критической скорости
течения (
).
Как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых
потоках
.
Значениям
не соответствуют какие-либо реальные
режимы течения. При замене величины
обратной ей величиной
значение функции
не изменяется. Таким образом, одн
ому
значению
могут соответствовать два взаимообратных
значения приведенной скорости
– одно из них определяет дозвуковое, а
другое – сверхзвуковое течение газа.
Функция
не зависит от k.
Выражение (2.73) для импульса потока значительно упрощает запись и преобразования уравнения количества движения газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении широкого круга задач газовой динамики. Например, при расчете течений с ударными волнами, подводом теплоты и охлаждением, течений с трением, с ударом при внезапном расширении канала, при расчете процесса смешения потоков, при определении сил, действующих на стенки канала, при вычислении реактивной тяги и многих других.
Пример. Определить соотношения между параметрами газа до и после прямого скачка уплотнения.
Связь между параметрами газа в скачке уплотнения устанавливается из того, что при переходе через скачок сохраняются неизменными полная энергия, расход и импульс потока. Запишем те же уравнения с использованием газодинамических функций.
Уравнение количества движения или импульса потока
с учетом выражения (2.73) примет вид
.
Из уравнения сохранения расхода и полной энергии имеем
;
;
.
Учитывая это, получим
.
Это уравнение имеет
два решения: либо
,
что соответствует безударному течению
с неизменными параметрами газа, либо
,
что соответствует прямому скачку.
По известному
значению
с помощью уравнения неразрывности
определяем изменение полного и
статического давления в скачке уплотнения.
Так как
и
,
то используя формулы газодинамической
функции
,
можно уравнение неразрывности для
потока газа до и после скачка представить
в виде
или
.
Отсюда, учитывая, что , получаем
.
Пример. Газ,
движущийся в цилиндрической трубе,
подогревается от 400 К на входе в трубу
до 800 К на выходе из нее. Приведенная
скорость потока на входе в трубу
.
Требуется определить, пренебрегая
трением, приведенную скорость потока
после подогрева, а также изменение
полного и статического давления в
потоке.
Основное соотношение, определяющее закономерности течения газа в цилиндрической трубе с подводом теплоты, получим из уравнения количества движения
,
так как подвод теплоты не связан с силовым воздействием на поток и силы давления в начальном и конечном сечении являются единственными силами, вызывающими изменение количества движения газа. Заменив выражения для импульса потока газа согласно соотношению (2.73) и считая, что теплоемкость газа и k при подогреве не изменяются, получим
или
.
Так как при
,
,
то
.
С помощью таблиц
функций
или непосредственным вычислением из
квадратного уравнения
определяем два возможных значения
приведенной скорости на выходе:
,
.
Реальным будет
только первое решение, поскольку
подогревом невозможно перевести
дозвуковой поток в сверхзвуковой.
Зная
,
найдем
и
.
.
Таким образом, как
полное, так и статическое давление в
результате подогрева газа уменьшаются.
Полученное
значение
и есть то соотношение давлений газа в
начальном и конечном сечениях
рассматриваемого участка трубы, которое
необходимо создать, чтобы поддержать
заданные температуры и приведенную
скорость на входе
.
Уравнение сохранения
количества движения позволяет установить
некоторые общие закономерности течения
в цилиндрической трубе с подогревом
или охлаждением. Видно, что с увеличением
отношения
величина функций
(при
)
всегда уменьшается. Это означает, что
с ростом подогрева в дозвуковом потоке
увеличивается, а в сверхзвуковом –
уменьшается. В обоих случаях скорость
потока будет приближаться к критической
(следовательно
,
а
).
Это условие ограничивает величину
предельно возможного подогрева для
заданной начальной скорости потока
.
Для принятых в
данном примере значений параметров
предельная величина подогрева
соответствует
.
Из уравнений расхода
можно определить отношение давлений
,
необходимое для реализации такого
режима при сохранении
.
При увеличении подогрева сверх найденного
значения получим
,
что указывает на физическую невозможность
такого подогрева при заданной скорости
течения на входе.
Заменив в соотношении
(2.73) произведение
его значением согласно (2.19) и (2.20), получим
выражение для импульса газового потока
в первом случае через полное давление,
а во втором случае через статическое
давление:
;
.
Введем обозначения для двух новых функций приведенной скорости , входящих в правые части этих выражений:
;
.
Подставляя эти обозначения, получаем окончательно
; (2.74)
. (2.75)
Функция
введена, как величина, обратная
произведению
с тем, чтобы облегчить пользование
таблицами (произведение
быстро возрастает с увеличением
,
стремясь к бесконечности при
.
Величина же
изменяется в пределах от единицы до
нуля). Графики функций
и
приведены ранее.
Уравнения (2.74), (2.75) показывают ряд свойств импульса газового потока. В правой части этих уравнений отсутствуют величины расхода газа и температуры или критической скорости. Из этого следует, что если при заданной площади сечения S и приведенной скорости полное или статическое давление в потоке постоянно, то импульс сохраняет постоянное значение независимо от температуры и расхода газа.
Физический смысл
этого состоит в том, что при изменении
температуры (или температуры торможения)
газа при
скорость течения изменяется прямо
пропорционально, а расход – обратно
пропорционально корню квадратному из
температуры, так что произведение GV
остается постоянным. Отметим, что функция
в области дозвуковых и небольших
сверхзвуковых скоростей изменяется
очень мало (приблизительно на 10% в
интервале
).
Отсюда согласно
(2.74) следует, что импульс газового потока
при постоянных полном давлении и площади
сечения слабо зависит от величины
в широком диапазоне ее изменения и
определяется в основном величиной
произведения
.
Выражения (2.74) и (2.75) для импульса газа очень удобны при решении задач, связанных с определением сил, действующих со стороны газа на стенки канала, что необходимо, в частности, при вычислении реактивной тяги различных двигательных установок.